Calculo Superior

ESIQIE-IPN

CALCULO SUPERIOR

ACADEMIA DE MATEMATICAS
ANGELINA ROSARIO GUZMÁN SÁNCHEZ IGNACIO ELIZALDE MARTÍNEZ AURELIO HERNÁNDEZ RAMÍREZ

INDICE

Capitulo I Capitulo II Capitulo III

Tensores Cálculo Vectorial Variable Compleja

Pag. 1 Pag. 22 Pag. 133

CAPITULO I: TENSORES

Cálculo superior ESIQIE-IPN

CAPITULO I

TENSORES
ESPACIO VECTORIAL
Un espacio vectorial V es unconjunto no vacío con dos operaciones definidas: (1) suma entre sus elementos y (2) multiplicación por escalares*; con las siguientes propiedades: SUMA Sean u, v y w elementos del espacio vectorial. Entonces: 1. u + v = v + u conmutatividad 2. (u + v) + w = u + (v + w) asociatividad 3. Debe existir un elemento 0 tal que u + 0 = u elemento neutro 4. Para cada u elemento del conjunto debe existir unelemento -u tal que u + (-u) = 0 inverso MULTIPLICACIÓN POR ESCALARES Sean α y β escalares y v y w elementos del espacio vectorial. Entonces: 1. α (βv)=( αβ)v asociatividad respecto a escalares 2. Debe existir el escalar 1 tal que 1v=v 3. α(v + w)= αv + αw distributividad respecto a vectores 4. (α + β)w= αv + βv distributividad respecto a escalares A los elementos de un espacio vectorial se lesllama vectores Nota: los escalares son elementos de un campo*, generalmente los números reales o complejos. PRODUCTO INTERNO Se dice que el espacio vectorial es un espacio vectorial con producto interno si se define un producto entre los vectores con las propiedades: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

En este texto abordaremos varios casos de espacios vectoriales con producto interno: 1. Números reales2. Tensores 3. Vectores espaciales 4. Matrices 5. Números complejos
Base de un espacio vectorial

En los espacios vectoriales existe un concepto particularmente útil, la base, concepto que a su vez requiere de la definición de independencia lineal. A. ROSARIO GUZMÁN ENERO – JUNIO 2012 1

CAPITULO I: TENSORES

Cálculo superior ESIQIE-IPN

Sean y escalares. Se dice que los vectores , y sonlinealmente independientes, si toda combinación lineal de ellos igual a cero implica que todos los escalares sean cero: = (1) Esto significa que ninguno de los vectores puede despejarse en términos de los otros. En efecto, si quisiéramos despejar por ejemplo , tendríamos que dividir entre , que es cero. Como la división por cero no está definida, no podemos llevar a cabo el despeje. Ya queninguno de ellos se puede escribir como una combinación lineal de los otros, se dice que son linealmente independientes. La base de un espacio vectorial es un conjunto de vectores linealmente independientes que “generan” al espacio. Esto último quiere decir que cualquier vector del espacio puede escribirse como una combinación lineal de los elementos de la base.

El número de elementos de la base esla dimensión del espacio vectorial; en el caso que hemos ilustrado, la dimensión es n. Cabe mencionar que existen espacios vectoriales de dimensión infinita. La base de un espacio vectorial no es única, es decir, un espacio vectorial dado puede tener diferentes representaciones. Las bases puede clasificarse de acuerdo a sus propiedades en: 1. Bases ortogonales. Aquéllas en donde el producto internode cualquier par de los elementos de la base es cero. Pongamos como ejemplo la base de los vectores espaciales de dimensión 3: i, j y k, con el producto escalar de vectores. 2. Bases normales. Se dice de aquéllas en donde el producto interno entre cualquier pareja de elementos de la base es uno. Considere el mismo ejemplo del caso anterior 3. Bases constantes. Cuando los elementos de la base nocambian. Mismo ejemplo que en los puntos 1 y 2. 4. Bases variables. Si los elementos de la base, aunque conservan su definición, pueden ser diferentes de punto a punto. Ejemplo: base vectorial del sistema de coordenadas polares, con los vectores base ̂ y ⏞. Estas propiedades se analizarán con más detalle en el tema sistemas de coordenadas curvilíneas.
Ejercicios

Ejercicio 1. (a) Demuestre que...