Calculo superior

Cap´ ıtulo 11

´ ´ INTEGRACION. CALCULO DE ´ AREAS
11.1. Introducci´n o

Si el problema del c´lculo de la recta tangente llev´ a los matem´ticos del siglo XVII al desarrollo de a o a las t´cnicas de la derivaci´n, otro problema, el del c´lculo del area encerrada por una curva, propici´ el e o a ´ o e o desrrollo de las t´cnicas de integraci´n. Se trataba, por ejemplo, de hallar el ´reaencerrada bajo la curva f (x) entre los puntos a y b: a

Se conoc´ f´rmulas para recintos de forma igual a figuras geom´tricas(rectangulares, triangulares, ıan o e e incluso algunas de curvas espec´ ıficas), pero si la curva no ten´ forma regular, no se conoc´ en ıa ıa, general, su area exacta. ´ El c´lculo integral da respuesta a esta y otras cuestiones. a

11.2.

Primitivas. Integral indefinidaDada un funci´n f (x), sabemos calcular su derivada f (x), e incluso sus derivadas sucesivas, f (x), o f (x), etc. Sin embargo ahora nos planteamos el problema rec´ ıproco: Dada una funci´n f (x), se trata de encontrar otra, F (x), tal que al derivar esta ultima funci´n, o ´ o obtengamos la funci´n inicial, es decir: o F (x) = f (x) Veamos un ejemplo: Tomemos la funci´n f (x) = 2x. o Se trata deencontrar una funci´n F (x) tal que al derivarla nos de f (x). o

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´ ´ ´ CAP´ ITULO 11. INTEGRACION. CALCULO DE AREAS Si pensamos un poco, llegamos a que tal funci´n puede ser: o F (x) = x2 pues su derivada es precisamente f (x) = 2x. Ahora bien, no es F (x) la unica funci´n que cumple eso. ´ o Tomemos esta otra: F (x) = x2 + 43

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Tambi´n su derivada es f (x) = 2x. e Esto nos hacever que no s´lo hay una funci´n que cumple lo requerido, sino infinitas, sin m´s que o o a a˜adir cualquier n´mero. Esto se expresa como: n u F (x) = x2 + C Una funci´n F (x) como la que hemos encontrado se llama primitiva de f (x), y hemos visto que si una o funci´n tiene una primitiva, entonces tiene infinitas. o Llamaremos integral indefinida de la funci´n al conjunto de todas estas primitivas. oLo representaremos, en el caso anterior, como: 2x dx = x2 + C, C∈R

Definici´n: Dada una funci´n f (x), se llama primitiva de f (x) a otra funci´n F (x) tal que: o o o F (x) = f (x) Se denomina integral indefinida de f (x) al conjunto de todas las primitivas (hay infinitas) de f (x), y se representa por: f (x) dx = F (x) + C, C∈R

As´ el problema de calcular una primitiva de una funci´n esinverso al de calcular una derivada; como ı, o son operaciones inversas la suma y la resta, el producto y el cociente, la potenciaci´n y la radicaci´n. o o

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11.3.

Primitivas inmediatas

De modo an´logo al caso de las derivadas, debemos recordar algunas primitivas de las funciones a m´s usuales: a 1. − k dx = kx + C, C ∈ R, k ∈ R 2. −3. − 4. − 5. − 6. − 7. − 8. − 9. − 10. − xn dx = xn+1 + C, n+1 C ∈ R, , n ∈ R, C∈R n = −1

x−1 dx = ax dx =

1 dx = ln x + C, x C∈R C∈R

ax + C, ln a

ex dx = ex + C,

sen x dx = − cos x + C, cos x dx = sen x + C, 1 dx = arctan x, 1 + x2

C∈R C∈R C∈R C∈R

1 √ dx = arc sen x + C, 1 − x2 √

−1 dx = arc cos x + C, C ∈ R 1 − x2 Estas primitivas permiten calcular algunas integralessencillas. Adem´s es conveniente la utilizaci´n de las dos propiedades siguientes: a o 1. k · f (x) dx = k · f (x) dx, k∈R

Esta propiedad indica que si hay un n´mero multiplicando a toda la integral, entonces se puede u sacar fuera de la integral. 2. (f (x) ± g(x)) dx = f (x) dx ± g(x) dx

Lo que indica esta propiedad es que si tenemos una suma (o resta) de dos funciones, entonces podemos separarla integral en la suma (o resta) de dos integrales. Utilizando estas propiedades de manera combinada, se calculan las primeras integrales sencillas. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo: Calcular las integrales siguientes: a) √ x dx b) (15x4 + 10x3 − 12x2 − 8x + 5) dx c) 2 + ex − 3 cos x x dx

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Para la primera integral , expresamos la...