Calculo Susesiones Y Series

Introducción:
En este trabajo aprenderemos a resolver problemas de series y sucesiones aplicadas en cálculo superior.
¿Qué es una serie?
"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es la suma de una sucesión.

¿Qué es una sucesión?
Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.

Sucesiones.Conceptos básicos:
En matemáticas, una sucesión es una lista ordenada de objetos, cada uno de ellos denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión.
A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y un mismo término puede aparecer en más de unaposición. De manera formal, una sucesión puede definirse como una función sobre el conjunto de los números naturales (o un subconjunto del mismo) y es por tanto una función discreta.
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Sucesiones Monótonas
Teorema de las Sucesiones Monótonas Toda sucesión acotada y monótona esconvergente Demostración Supongamos que a_ {n} es una sucesión creciente. Dado que es una sucesión acotada. El conjunto S= tiene una cota superior. Por el axioma de completes tiene una mínima cota superior L. Dado que ɛ> 0, L -ɛ no es una cota superior de S (pues L es la mínima cota superior).

* Monótona Creciente 
Se dice que una sucesión es monótona creciente si se cumple:

Es decir, que si el términosiguiente  de la sucesión es mayor al término actual. 
Ejemplo:


* Monótona Decreciente 
Se dice que sucesión es monótona decreciente si se cumple: 
Es decir, el término siguiente  es menor al término actual. 
Ejemplo:
.

Sucesiones Acotadas

En topografía se llama cota a la altura del terreno en un punto, así, por ejemplo, se dice que el monte Everest tiene la cota más alta delplaneta con 8.848 metros, o que se ha descubierto una sima en el mar con una cota que tiene -10.617 metros.
En este apartado estudiaremos la topografía de las sucesiones, dando algunas definiciones y métodos para determinar esas cotas, cuando existan.

Sucesiones Acotadas Inferiormente
Se dice que una sucesión de números reales esta acotada inferiormente si hay un número k menor que todos lostérminos de la sucesión. Es decir que todos los términos de la sucesión son siempre mayores que k.

Por lo tanto, en su representación en el plano cartesiano los puntos estarán por encima de la recta y=k.
* Ejemplo

Sucesiones Acotadas Superiormente
Se dice que una sucesión de números reales esta acotada superiormente si hay un número K mayor que todos los términos de la sucesión. Esdecir que todos los términos de la sucesión son siempre menores que K.
Por lo tanto, su representación en el plano cartesiano serán puntos que no sobrepasan un la recta y=K.

* Ejemplo

Sucesiones Acotadas
Se dice que una sucesión de números reales está acotada si está acotada superiormente e inferiormente. Es decir si hay un número k menor que todos los términos de la sucesión y otro Kmayor que todos los términos de la sucesión. Es decir que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K.
Por lo tanto, en su representación en el plano cartesiano los puntos estarán entre la recta y=k y la recta y=K.

Sucesiones No Acotadas
Se dice que una sucesión de números reales no está acotada si no lo está superiormente o inferiormente, es decir cuando no está acotadapor alguno de los dos lados o por ambos a la vez.
* Ejemplo

Convergencia de sucesiones
La definición de convergencia permite formalizar toda la idea intuitiva que tenemos de límite de números, para así poder utilizar y manipular límites (álgebra de límites)
¿Cuál es la idea intuitiva que tenemos de límite?
Bueno, sabemos (o intuimos) que el límite de converge a cero cuando n tiende...