calculo tema campos escalares y optimizacion

TEMA

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C´
alculo diferencial

Contenidos
´ n 2.1: Curvas parametrizadas. Estudio de curvas parametrizadas.
Leccio
Representaci´
on gr´
afica. As´ıntotas. Curvas polares. C´onicas.
´ n 2.2: Campos escalares. Campos escalares lineales. Derivadas diLeccio
reccionales, derivadas parciales y diferenciabilidad. Vector gradiente. Plano
tangente a una superficie. Derivadas de ordensuperior.
´ n 2.3: Optimizacio
´ n de campos escalares. Extremos locales. ClaLeccio
sificaci´
on de puntos cr´ıticos con la matriz hessiana. Extremos condicionados y
multiplicadores de Lagrange. Extremos absolutos.

Prerrequisitos: Conocimientos b´asicos de ´algebra lineal y geometr´ıa (ecuaciones
de una recta, vectores, etc.). Trigonometr´ıa. C´alculo de l´ımites y derivaci´on. Representaci´on gr´
afica de funciones de una variable (determinar dominio, puntos de
corte con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos, intervalos de
concavidad y convexidad, puntos de inflexi´on, etc.)

Objetivos: Los objetivos del tema son: reconocer una curva a partir de una parametrizaci´
on y estudiar sus caracteristicas, incluidas las curvas polares; reconocer y
saberidentificar las caracter´ısticas de las curvas c´onicas; saber calcular y aplicar las
propiedades del vector gradiente de un campo escalar; plantear y resolver problemas
de optimizaci´
on de campos escalares.

Ingenier´ıa Inform´
atica. C´
alculo para la computaci´on

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C´alculo para la computaci´on

Resultados de aprendizaje
Curvas parametrizadas y polares: Representar curvasparametrizadas y
polares. Hallar la recta tangente y la recta normal a una curva en un punto. Saber determinar puntos de tangencia horizontal y puntos de tangencia
vertical. Saber determinar las as´ıntotas de una curva parametrizada.
C´
onicas: Identificar y deducir las caracter´ısticas de una c´onica (degenerada o no) a partir de su expresi´on P (x, y) = 0 (ejes, v´ertices, centro, as´ıntotas,.. . ). Obtener una parametrizaci´on de una c´onica a partir de su ecuaci´on
normalizada. Obtener la ecuaci´on y parametrizaci´on de una c´onica a partir de
determinadas caracter´ısticas.
Campos escalares: Hallar el vector gradiente. Utilizar el vector gradiente
para obtener propiedades geom´etricas (plano tangente, rectas normales, ortogonalidad de superficies o curvas,. . . ). Calcularderivadas direccionales. Utilizar el vector gradiente como la direcci´on en donde la derivada direccional es
m´
axima.
Optimizaci´
on: Hallar y clasificar puntos cr´ıticos de campos de dos o tres
variable usando la matriz hessiana o el comportamiento del campo en rectas
o curvas que pasan por el punto cr´ıtico. Hallar y clasificar puntos cr´ıticos
de campos de dos variables con una restricci´on,usando multiplicadores de
Lagrange o reducci´
on de variables. Hallar los m´aximos y m´ınimos absolutos de
campos de dos variables sobre regiones acotadas.

E.T.S.I.Inform´atica

2.1. Curvas planas.

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´ 2.1
LECCION

Curvas planas
El objetivo u
´ltimo de las matem´aticas es modelizar el mundo real. Es decir,
representar y describir diversos aspectos del mundo real medianteconceptos matem´aticos que ayuden a estudiarlo. En particular, en esta lecci´on nos centramos
en la representaci´
on de objetos y figuras que gen´ericamente denominamos lugares
geom´etricos. Podemos entender f´acilmente cu´al es nuestro objetivo con el siguiente
problema: traza en un papel tres rectas que se corten formando un tri´
angulo y luego
dale indicaciones a un compa˜
nero para que hagaexactamente el mismo dibujo. Seguramente, las indicaciones dadas estar´an basadas en objetos matem´aticos: sistemas
de referencias, distancias, ´
angulos,. . .
Para lograr resolver el problema anterior no se necesitan demasiados elementos,
pero ¿c´
omo har´ıamos lo mismo si en lugar de rectas quisi´eramos describir una curva?
Este es el problema general que abordamos en esta lecci´on....