Calculo Trabajo Final

4.1 DEFINICION DE SERIE
DEFINICION
Sea (xn) ∞ n=1 una sucesión de números reales. Para cada n ∈ N
Definimos:

La sucesión (Sn) n≥1 se conoce como la serie infinita asociada a, o generada por,
La sucesión (xn) ∞ n=1. La notación usual es:



Decimos que xn es el n-esimo sumando o termino y Sn es la n-´esima suma
parcial de Si (Sn) n≥1 converge a S € R decimos que es una serie
convergente. Encaso contrario la serie es divergente. Si lim n→∞ Sn = S decimos
que S es la suma de la serie y escribimos





Así, para las series convergentes, el símbolo tiene un doble papel:
representa la serie y también su suma. Es importante que el lector distinga
claramente entre la sucesión y la serie y entienda la relación
entre ambas.
Observamos también que la suma de una serie convergente no seobtiene
realizando una cantidad infinita de sumas sino como el límite de una sucesión.
En este capitulo consideraremos ocasionalmente series de la forma
donde p ∈ Z, las cuales definimos como la serie donde yⁿ = xn+p-1.
























Ejemplo 4.1
Sea xn = 1/n. Las sumas parciales (Sn) correspondientes a esta sucesión son



En la figura 4.1 vemos, en la parte inferior, la gráfica de lasucesión xn y en la
parte superior, la de la sucesión de sumas parciales Sn. La primera sucesión es
decreciente mientras que la segunda es creciente.


4.2 SERIE NUMERICA Y CONVERGENCIA, PRUEBA DE LA RAZON (criterio de D’ Alembert) Y PRUEBA DE LA RAIZ (criterio de Cauchy).

En matemáticas, una secuencia es una lista ordenada de objetos (o eventos). Como un conjunto, que contiene los miembros(también llamados elementos o términos), y el número de términos (posiblemente infinita) se llama la longitud de la secuencia. A diferencia de un conjunto, el orden importa, y exactamente los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones en la secuencia. Una secuencia es una discreta función.
Por ejemplo, (C, R, Y) es una secuencia de letras que difiere de (Y, C, R), como lascuestiones de pedido. Las secuencias pueden ser finitos, como en este ejemplo, o infinita, como la secuencia de todos, incluso positivos enteros (2, 4, 6,…). Secuencias finitas se conocen como cadenas o palabras y secuencias infinitas como los arroyos. La secuencia vacía () se incluye en la mayoría de las nociones de secuencia, pero pueden ser excluidos en función del contexto.
Ejemplos y notaciónHay muchas diferentes nociones de secuencias en las matemáticas, algunas de las cuales (por ejemplo, la secuencia exacta) no están cubiertos por las anotaciones que se presentan a continuación.

Por ejemplo, una secuencia podría ser escrito como ( un uno , un dos , un dos , …), o ( b 0 , b 1 , b 2 , …), o ( c 0 , c 2 , c 4 , …), dependiendo en lo que es útil en la aplicación.
Finito y lo infinitoUna definición más formal de una secuencia finita con los términos de un conjunto S es una función de {1, 2,…, n} a S por alguna n > 0. Una secuencia infinita de S es una función de {1, 2,… A} S. Por ejemplo, la secuencia de números primos (2,3,5,7,11, …) es la función 1 → 2 , 2 → 3 , 3 → 5 , 4 → 7 , 5 → 11 , ….
Una secuencia de longitud finita n es también llamado n -tupla; secuencias finitasincluyen la secuencia vacía () que no tiene elementos.
Una de las funciones de todos los números enteros es que en un conjunto a veces se denomina secuencia infinita-bi o dos vías secuencia infinita. Un ejemplo es la secuencia bi-infinita de todos los enteros pares (…, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8…).
Multiplicativo Deja una = (una secuencia definida por una función f: {1, 2, 3,…} → {1, 2, 3,…}, de tal maneraque un i = f (i). La secuencia es multiplicativo si f (xy) = f (x) f (y) para todo x, y tales que x e y son primos entre sí.
Criterio de D'Alembert (Criterio de la razón)
Sea una serie, tal que ak > 0 (serie de términos positivos).
Si existe


Con, el Criterio de D'Alembert establece que:
si L < 1, la serie converge.
si L > 1, entonces la serie diverge.
si L = 1, no es posible decir algo sobre...