Calculo USACH

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILEnFACULTAD DE CIENCIA
Departamento de Matem´tica y Ciencia de la Computaci´n
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CALCULO
Segunda Versi´n
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Integraci´n y Series
o

Tomo II

Gladys Bobadilla A. y Rafael Labarca B.

Santiago de Chile
2004

Prefacio
El cero es el silencio antes del n´mero
u
El n´mero es el verbo matem´tico
u
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Lo matem´tico es el c´lculo de la realidada
a
La realidad es lo unico incre´
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ıble
Lo incre´ es lo que no podemos
ıble
Y lo que no podemos es lo que queremos.
Patricio Manns.
Este texto es producto - en elaboraci´n a´n - del proyecto de desarrollo de la docencia
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Texto de c´lculo anual para ingenier´ civil, financiado por la Vicerrector´ de Doa
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cencia y Extensi´n de la Universidad de Santiago de Chile.
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Granparte de los contenidos de los cap´
ıtulos 1 y 2 est´n sacados del antiguo texto de
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C´lculo I escrito por Gladys Bobadilla y Jorge Billeke (Q.E.P.D.).
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La idea motriz de los autores para emprender esta tarea es el profundo convencimiento
que ´sta es una forma de contribuir a una cultura nacional independiente.
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Aunque los temas tratados - generados en Europa entre los siglos 17 y 19 -forman
parte del patrimonio universal y existe una amplia y variada literatura, no es una raz´n
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suficiente para que la universidad renuncie a crear su propio material docente. Esta labor
es tan importante como la creaci´n de nuevos conocimientos y necesita, como esta ultima,
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de una tradici´n para la cual se debe recorrer un largo camino de errores y rectificaciones.
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Adem´s, queremoscompartir con los j´venes estudiantes que usar´n este libro, la
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reflexi´n del fil´sofo Gast´n Bachelard (1884 - 1962) sobre lo que significa enfrentarse
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al conocimiento cient´
ıfico: ”Frente al misterio de lo real el alma no puede, por decreto,
tornarse ingenua. Es entonces imposible hacer, de golpe, tabla rasa de los conocimientos
usuales. Frente a lo real, lo que cree saberseclaramente ofusca lo que debiera saberse.
Cuando se presenta ante la cultura cient´
ıfica, el esp´
ıritu jam´s es joven. Hasta es muy
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viejo, pues tiene la edad de sus prejuicios. Tener acceso a la ciencia es rejuvenecerse espiritualmente, es aceptar una mutaci´n brusca que ha de contradecir a un pasado.”1
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Agradecemos los valiosos comentarios de la Dra. Cecilia Yarur, la profesoraGraciela
Escalona y el se˜or Luis Riquelme que nos ayudaron a mejorar la presentaci´n de este
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texto. Agradecemos adem´s, el apoyo t´cnico en la escritura digital, de la se˜orita Evelyn
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Aguilar y el se˜or Leonelo Iturriaga.
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Finalmente, siendo ´sta una versi´n preliminar, agradeceremos a quienes detecten ee
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rrores nos lo hagan saber.

Gladys Bobadilla A y Rafael Labarca B.Santiago, marzo de 2002.

1

Gast´n Bachelard: La formaci´n del esp´
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ıritu cient´
ıfico. Ed. Siglo XXI, 1997.

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Indice general
1. L´
ımites y continuidad
1.1. Los n´meros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1.1. La aritm´tica de los n´meros reales: axiomas de cuerpo . . . .
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1.1.2. Comparaci´n de los n´meros reales: axiomas de orden . . .. .
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1.1.3. Resoluci´n de desigualdades o inecuaciones . . . . . . . . . . .
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1.1.4. Una distancia en R: el valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5. La continuidad de R: el axioma del supremo . . . . . . . . . . .
1.2. L´
ımites de funciones num´ricas de variable discreta. . . . . . . . . . .
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1.2.1. Las variables discretas y el conjunto N . . . . . . . . . . . . . .1.2.2. Convergencia de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Divergencia de sucesiones hacia ±∞ . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Las funciones num´ricas de variable continua . . . . . . . . . . . . . .
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1.3.1....