Calculo variacional

I) Encontrar los valores extrémales para las siguientes funcionales
1)[pic] [pic]
Solución:
Aplicando la ecuación de Euler:

[pic] …(1)

Donde:[pic]
Reemplazando en (1)
[pic]
[pic]
Una solución de esta ecuación diferencial es: [pic]
[pic]
De aquí:
[pic]
De esto:
[pic]
Lasolución general seria:
[pic]

Y de las condiciones iniciales [pic], se obtiene:
[pic]
Finalmente, la ecuación seria:
[pic]

2)[pic] [pic]
Solución:Como la funcional no depende directamente de[pic], la ecuación de Euler se reduce a:

[pic] …(1)
Donde:
[pic]
Reemplazando en (1)
[pic][pic]
[pic]
Entonces integramos y obtenemos:
[pic]
[pic]
Despejando y obtenemos la solución general:
[pic]
Y de las condiciones iniciales [pic], seobtiene:
[pic]
Finalmente, se obtiene la ecuación:
[pic]

3)[pic] [pic]
Solución:
Como la funcional no depende directamente de[pic], laecuación de Euler se reduce a:

[pic] …(1)

Donde:
[pic]
Reemplazando en (1)
[pic]
[pic]
Entonces integramos y obtenemos:[pic]
La solución general:
[pic]

Y de las condiciones iniciales [pic], se obtiene:
[pic]
Finalmente, se obtiene la ecuación:[pic]

II) Encuentre la curva cerrada de longitud [pic], que podamos encerrar la mayor área posible:
Solución:
Tenemos la ecuación de la curva cerrada en forma parametrica[pic]
Su área enparametricas es [pic]
Y la condición es [pic]
Sean las funcionales para parametricas
[pic]
Entonces tenemos:
[pic][pic][pic]

[pic]...