calculo vectorial ecuaciones parametricas

1.1

Curvas planas y ecuaciones param´tricas
e

En los cursos anteriores se ha estudiado la representaci´n de las gr´ficas en el plano por medio una ecuaci´n
o
a
o
de dos variables (com´nmente x y y). En esta secci´n se estudiar´ como representar estas curvas por medio
u
o
a
de dos ecuaciones que involucran tres variables. Un caso t´
ıpico que se estudia en los cursos elementales def´
ısica es el tiro parab´lico, en el cual se relaciona la distancia horizontal recorrida x por un proyectil y su
o
altura y con el tiempo transcurrido t. Las ecuaciones son:
x = V0x t + x0
1
y = − gt2 + V0y t + y0
2
donde, x es la distancia horizontal, y la altura y t el tiempo.
En general, x y y se definen como funciones de una tercera variable t, a la cual se le llama par´metro
amediante las ecuaciones
x = f (t) y = g(t)
las que se denominan ecuaciones param´tricas. Cada valor de t determina un punto (x,y) de la curva,
e
entonces, al variar t, el punto (x, y) = (f (t), g(t)) cambia de posici´n y describe una curva plana que se
o
denota por C (figura 1.1). Es importante notar que el par´metro t no necesariamente representa el tiempo,
a
de hecho se puede utilizarcualquier letra para representar el par´metro.
a

Figura 1.1: Curva C

Para hacer un bosquejo de una curva plana determinada por unas ecuaciones param´tricas, es com´n
e
u
hacer una tabulaci´n para varios valores del par´metro t, graficar los puntos (x,y) obtenidos y unirlos con
o
a
una curva suave.
Por ejemplo, para la curva con ecuaciones param´tricas x = t2 − 4 y y = t + 1
e
t
x
y-4
12
-3

-3
5
-2

-2
0
-1

-1
-3
0

0
-4
1

1
-3
2

2
0
3

3
5
4

4
12
5

La curva se muestra en la figura 1.2, donde se indica con flechas sobre la curva hacia donde cambia la
curva al aumentar el valor del par´metro.
a

Figura 1.2: Par´bola
a

1.2

Ecuaciones param´tricas de algunas curvas y su representaci´n
e
o
geom´trica
e

Al variar elpar´metro t sobre un intervalo dado, se obtiene un conjunto de puntos (x, y) que definen una
a
gr´fica. A las ecuaciones param´tricas y la gr´fica se le llama curva plana y lo denotamos por C. En esta
a
e
a
secci´n, se mostraran las gr´ficas de algunas ecuaciones param´tricas. Se mostrar´ como obtener (cuando sea
o
a
e
a
posible) la funci´n de dos variables correspondientes a una curvaplana y para una funci´n de dos variables,
o
o
algunas t´cnicas para obtener un conjunto de ecuaciones param´tricas.
e
e
Como se mostr´ en la secci´n anterior, para obtener una gr´fica, se eval´an las ecuaciones param´tricas
o
o
a
u
e
en diferentes valores del par´metro t que se toman como referencia para trazar un bosquejo de la gr´fica
a
a
correspondiente. A´n cuando esta es unat´cnica sencilla y r´pida, para algunas curvas resulta inadecuada
u
e
a
ya que si no seleccionan los valores apropiados de t, es posible que no se observen detalles importantes de la
gr´fica. Con ayuda de las calculadoras graficadoras o de algunos programas de computadora de graficaci´n es
a
o
posible obtener gr´ficas de muy alta calidad. Existen diferentes herramientas para graficaci´n por medio dea
o
las computadoras, entre los programas se cuenta con winplot, un programa muy sencillo para WINDOWS,
otro programa un poco mas dif´ de utilizar pero mucho mas poderoso es gnuplot, que adem´s tiene la
ıcil
a
ventaja de tener versiones para diferentes plataformas.

Ejemplo 1 Determinar varios puntos de la gr´fica correspondiente a las ecuaciones param´tricas x =
a
e
para trazar lacurva, luego determinar la ecuaci´n rectangular de la curva.
o

√

t y y = t+1

De la ecuaci´n de x se observa que el dominio del par´metro es t ≥ 0, de la ecuaci´n de y se observa que
o
a
o
el dominio del par´metro es ∞ < t < ∞; el dominio del par´metro es la intersecci´n de los dominios
a
a
o
correspondientes a las dos ecuaciones, esto es, t ≥ 0, por lo que se tabulan valores...