Calculo Vectorial Unidad 3 4 y 5

Instituto Tecnológico de Minatitlán.
Ingeniería Industrial.
Calculo Vectorial.
Luis Humberto Morales
Investigación unidad 3,4 y 5.
Alumnos:
Antonio Cobix Margiel Kristel.
Bartolo Garcia Ambar Lizbeth.
Jimenez Bante Diana Madai.
Pino Valdes Dania Isabel.
Rodriguez Salome Néstor.

Funciones vectoriales
de una variable real.

3.1 Definición de función vectorial de una variable real.
La derivada deuna función vectorial r se define como:
r’ (t)=lim
t0

Para todo t para el cual existe el límite. Si r’ (t) existe, entonces r es derivable
en t. si r’(t) existe para toda t en un intervalo abierto I, entonces r es
derivable en el intervalo I.La derivabilidad de funciones vectoriales puede
extenderse a intervalos cerrados considerado limites laterales.

3.2. Graficación de curvas en función delparámetro T.
Las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t con valores
reales. Las funciones vectoriales se denotan con frecuencia por:
r(t) =
r(t) =
Debe quedar clara la distinción entre la función vectorial r y las funciones de
variable real f, g y h.
Todas son funciones de la variable real t, pero r (t) es un vector mientras que f
(t),g (t) yh (t) son números (para cada valor especificado de t).

 Ejemplos de graficación de curvas en función del parámetro T.
1.

2.

3.3

Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades.

Derivación de funciones vectoriales

1. Si r(t)=f(t)i + g(t)j, donde f y g son funciones derivables de t, entonces
r’(t)= f’(t)i + g’ (t)j

Plano

2. Si r(t)=f(t)I + g(t)j + h(t)k, donde f,g y h son funcionesderivables de t,
entonces
r’(t) = f’(t)i + g’(t)j + h’(t)k

Espacio

 Ejemplos de las derivaciones de funciones vectoriales

Propiedades de las derivadas
Sean r y u funciones vectoriales derivables de t, w una función real derivable
de t y c un escalar.
 1. Dt crt=cr’(t)
 2. Dt r(t)u(t)=r’(t)u’(t)
 3. Dt w(t)r(t)=w(t)r’(t)+w’(t)r (t)
 4. Dt r(t).u(t)=r(t).u’(t)+r’(t).u(t)
 5.Dt r(t) x u(t)=r(t) x u’(t)+r’(t) x u(t)
 6. Dt r(w(t))=r’(w(t))w’(t)
 7. si r(t) . r(t)= c, entonces r (t) . r’ (t)=0
 Ejemplo de propiedades de la derivada.

3.4. Integración de funciones vectoriales.
La siguiente definición es una consecuencia lógica de la definición de la
derivada de una función vectorial.
Definición de la integral de una función vectorial
1. Si r(t)= f(t)i + g(t)j,donde f y g son continuas en a,b, entonces la integral
indefinida (o antiderivada) de r es

Y su integral definida en el intervalo a  t  b es

2. Si r(t)=f(t)i + g(t)j + h(t)k, es donde f,g y h son continuas en
la integral indefinida (o antiderivada) de r es

Y su integral definida en el intervalo a  t  b es
 Ejemplos: Integración de una función vectorial.

, entonces

 Ejemplo de integralesde una función vectorial.

3.5 longitud de arco
Si C es una curva suave dada por r(t) =x(t)i+ y(t)j + z(t)k en un intervalo
la longitud de arco de C en ese intervalo es

s=

dt =

 Ejemplos: De longitud de arco.

dt

3.6. Vector tangente, normal y binomial
Definición del vector tangente unitario
Sea C una curva suave representada por r en un intervalo abierto I. El vector
tangente unitarioT(t) en t se define como
T(t) =
Definición del vector normal principal (unitario)
Sea C una curva suave representada por r en un intervalo abierto I, si T’(t)0,
el vector normal principal en t se define como
N(t) =
 Ejemplos: de vector tangente, normal y binomial.

3.7.curvatura
Definición de la función longitud de arco
Sea C una curva suave dada por r(t) en un intervalo cerrado
b, la funciónlongitud de arco viene dada por

s(t) =

du

La longitud de arco s se denomina parámetro longitud de arco.

. Para a  t 

 Ejemplo de curvatura

2.

Funciones reales
de
varias
variables.

4.1 Definición de una función de varias variables.
Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par
ordenado (x, y) en D le corresponde un único número real f(x, y), se dice que f
es...

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