Calculo vectorial

Funciones Trigonométricas
Complemento Cálculo I

Revisemos nuevamente las gráficas del seno y del coseno, cuando se escriben como funciones es común utilizar x (como en todas las funciones) para denotar la variable independiente, es decir el ángulo en radianes (lo que en clase llamábamos θ), No la confundan con la x del círculo unitario. π 3π 5π Recordemos que Sen(x) vale 1 ó - 1 en , , , ... ylos correspondientes negativos, lo que se 2 2 2 π (2n + 1)π = n + , con n un número entero (positivo, negativo o cero), escribe en general como 2 2 es decir en múltiplos impares de π divididos entre 2. La función Sen(x) es cero en 0, π, 2π, ... y los correspondientes negativos, lo que se escribe en general como 2nπ, con n un número entero, es decir las raíces de la función están en múltiplospares de π (Figura 1). Para el coseno es al revés que el π (2n + 1)π = n + (Figura 2). seno, la función vale 1 ó - 1 en 2nπ y cero (raíces) en 2 2 Sen(x) La gráfica de la tangente se obtiene de la definición T an(x) = , entonces la tangente Cos(x) π no está definida en los puntos donde Cos(x) = 0, es decir en n + , por lo que su dominio 2 son los Reales menos los puntos anteriores. Las raíces de lafunción están donde Sen(x) = 0, es decir en los puntos 2nπ. Cerca de los puntos donde Cos(x) = 0, la función tiende a ∞ si nos aproximamos a la raíz del coseno por la izquierda ó a −∞ si nos aproximamos por la derecha, por ejemplo si x = 89.9◦ = 1.57rad, entonces Sen(1.57) = 0.999 y Cos(1.57) = 0.002, por lo que T an(1.57) = 0.999/0.002 = 573, y si x = −269.9◦ = −4.71rad entonces Sen(−4.71) = 0.999 yCos(−4.71) = −0.002 por lo que T an(−4.71) = 0.999/ − 0.002 = −573. La figura 3 muestra la gráfica de la función tangente. Por supuesto también podemos trasladar, comprimir y estirar las gráficas de las funciones trigonométricas, ya sea en el eje x ó en el eje y, de la forma usual. En la figura 4 la curva azul representa la función seno originalf (x) = Sen(x) y la curva guinda la funcióng(x) = Sen(2x),que se obtiene de f comprimiendo por un factor de 1/2 en x, sin alterar los valores en y, es decir, las raíces de la función original, que como vimos están en 2nπ, las multiplicamos por 1/2 para obtener 1 (2nπ) = nπ, y estas son las raíces de g(x) = Sen(2x) (recuerden que las traslaciones implican 2 sumas o restas, pero las compresiones y alargamientos son factores multiplicativos. La figura 5muestra otro ejemplo con el coseno, curva azul → f (x) = Cos(x), curva guinda → x g(x) = Cosx( ), en este caso g se obtiene de f alargando por un factor de 3 en el eje x sin alterar 3 π 3π y, es decir, multiplicando las raíces de Cos(x) por 3, lo que da 3 n + = 3n + , y estas son las 2 2 raíces de g(x). Otro ejemplo (Figura 6) ahora con un alargamiento en y (noten que no hay cambio en x, las raíces nocambian), curva azul → f (x) = Sen(x), curva guinda → g(x) = 2Sen(x), los valores en y de f (x) se multiplican por 2. La figura 7 muestra una compresión en el eje y (nuevamente las 1 raíces no cambian), curva azul → f (x) = Cos(x), curva guinda → g(x) = Cos(x), los valores en 3 y de f (x) se multiplican por 1/3, ó se dividen entre 3, que es lo mismo.

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Las figuras 8 y 9 son ejemplos detraslaciones en el eje x, para la figura 8 curva azul →f (x) = Sen(x), curva guinda → g(x) = Sen(x + 4), para la figura 9 curva azul →f (x) = Cos(x), curva guinda → g(x) = Cos(x − 3), mientras que las figuras 10 y 11 muestran ejemplos de traslaciones en el eje y. Para la figura 10 curva azul →f (x) = Sen(x), curva guinda → g(x) = Sen(x) + 2, para la figura 11 curva azul →f (x) = Cos(x), curva guinda → g(x)= Cos(x) − 2. Finalmente la figura 12 muestra un ejemplo con varias combinaciones, curva azul → f (x) = Cos(x), curva guinda → g(x) = 4Cos(3x − 1) − 2, que se obtiene de f siguiendo estos pasos (el orden puede cambiar) : comprimiendo en x por 1/3 → Cos(3x), desplazando en x hacia la derecha una unidad → Cos(3x − 1), alargando en y cuatro unidades → 4Cos(3x − 1), desplazando en y 2 unidades hacia...