Calculo vectorial

Trabajo de matemáticas III DE INVESTIGACIÓN 
UNIDAD 3. CÁLCULO VECTORIAL
Independencia de la trayectoria

Si A y B son dos puntos de una region que esta abierta en el espacio el trabajo, realizado por un campo F que esta definido en D al mover una partícula que va desde el punto A hasta el punto B, depende por lo general de la trayectoria elegida. Sin embargo, para ciertos campos, elvalor de la integral es el mismo para todas las trayectorias que van desde A hasta B

El es independiente de la trayectoria si para toda trayectoria

INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA.
La integral de línea  es independiente de la trayectoria de integración desde el punto P hasta el punto Q si el campo vectorial satisface la ecuación  donde  es una función escalar continua o funciónpotencial.



Teorema de Green

En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green y es un caso especial del más general teorema de Stokes. El teorema afirma:
Sea C una curvacerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en el plano y sea D la región limitada por C. Si L y M tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene D,



A veces la notación

se utiliza para establecer que la integral de línea está calculada usando la orientación positiva (antihoraria) de la curva cerrada C.

Relación con el teorema de ladivergencia
El teorema de Green es equivalente a la siguiente analogía bidimensional del teorema de Stokes:
donde es el versor normal saliente en la frontera.
Para ver esto, considere la unidad normal en la parte derecha de la ecuación. Como es un vector apuntando tangencialmente a través de una curva, y la curva C está orientada de manera positiva (es decir, en contra del sentido delas agujas del reloj) a través de la frontera, un vector normal saliente sería aquel que apunta en 90º hacia la derecha, el cual podría ser . El módulo de este vector es . Por lo tanto .
Tomando los componentes de , el lado derecho se convierte en

que por medio del teorema de Green resulta:


DIVERGENCIA.

Sea   
Donde f1, f2, f3 son funciones escalares
La divergenciaserá el producto:


PROPIEDADES DE LA DIVERGENCIA.
Sea y  dos funciones vectoriales y  una función escalar
1)

2)

3)

Ejemplo:
Si     Calcular la divergencia

Ejemplo:
Hallar la divergencia de


ROTACIONAL.

Si   una función vectorial si  es una función escalar con segundas derivadas parciales.
Donde:

 rotacional de

PROPIEDADES.
1)2)

3)

Demostrar que:



Operador laplaciano

Δu = f cuando la función f es cero.

En cálculo vectorial, el operador laplaciano o laplaciano es un operador diferencial elíptico de segundo orden, denotado como Δ, relacionado con ciertos problemas de minimización de ciertas magnitudes sobre un cierto dominio. El operador tiene ese nombre en reconocimiento a Pierre-SimonLaplace que estudió soluciones de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en las que aparecía dicho operador.
Expresado en coordenadas cartesianas es igual a la suma de todas las segundas derivadas parciales no mixtas dependientes de una variable. Corresponde a div (grad φ), de donde el uso del símbolo delta (Δ) o nabla cuadrado ( ) para representarlo. Si , son un campo escalar y un campovectorial respectivamente, el laplaciano de ambos puede escribirse en términos del operador nabla como:


Problemas relacionados con el operador laplaciano
En física, el laplaciano aparece en múltiples contextos como la teoría del potencial, la propagación de ondas, la conducción del calor, la distribución de tensiones en un sólido deformable, etc. Pero de todas estas situaciones ocupa un...