Calculo vectorial

UNIDAD 4
DEFINICIONES DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES.
Hasta ahora se ha estudiado las funciones del tipo real de variable real:
Ahora podemos hablar de funciones más generales, que se “mueven” entre dos espacios vectoriales:
Donde f(x1, x2,… xn) se puede ver como:
Donde hay m funciones del tipo:
que hacen corresponder un numero de R a un “vector” de Rn.
EJEMPLO.
donde f(x,y,z) podíahaberse escrito como “vector columna”:
DEFINICIONES PARA DERIVADAS.
DEFINICION 1
Se llama derivada parcial de una función del tipo:
a la expresión:
y se realiza derivando de la manera “usual” dejando las variables QUE NO SON xj constantes.
DEFINICION 2
La derivada de una función del tipo:
sería:
A esta matriz se la llama MATRIZ JACOBIANA y es siempre del tipo m×n.
EJEMPLO
Con la intenciónde quitarle un poco el miedo a esta expresión, veamos lo que pasa si derivamos la función del ejemplo anterior:
en este caso tendríamos dos funciones:
Basta hacer las parciales para la primera:
y para la segunda:
y las colocamos ordenadamente en la matriz jacobiana:
Ya tenemos la derivada de nuestra función.
Si nos pidieran la derivada en, por ejemplo, a=(x,y,z)=(1,-1,2), basta con sustituirahora y tendríamos:
No es tan difícil, ¿verdad?.Sigamos pues…
Gráfica de funciones de dos variables

Existen varias maneras de visualizar una función de dos variables, en esta sección lo haremos mediante una superficie en el espacio tridimensional.

Definición (gráfica de funciones de dos variables)
La gráfica de una función es el conjunto de puntos tales que y . Es decir,Observación : La gráfica de una función de dos variables puede interpretarse geométricamente como una superficie en el espacio de forma tal que su proyección sobre el plano es , el dominio de .En consecuencia, a cada punto en le corresponde un punto en la superficie y, a la inversa, a cada punto en la superficie le corresponde un punto en (figura 1).

Figura 1.
Ejemplo 1
Trace la gráficade la función
Solución
La gráfica de esta tipo funciones es muy común y se conocen como paraboloides (figura 2).

Figura 2.
Observación : el paraboloide anterior tiene su eje de simetría paralelo al eje , es de esperar que un paraboloide como tenga su eje de simetría paralelo al eje

GEOMETRÍA DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
SUPERFICIES Y CURVAS EN EL ESPACIO
• CoordenadasCartesianas o rectangulares En Tres Dimensiones
Definición: tres ejes coordenados, mutuamente perpendiculares (los ejes x, y y z) con sus puntos cero en un punto llamado origen, nos forman el plano cartesiano en R3 que nos son utiles para localizar puntos en el espacio de tres dimensiones (figura 1)
Z
X
Y figura 1
Los tres ejes determinan tres planos, yz, xz, y xy que dividen el espacio en ochooctantes (figura 2).
Figura 2
GRAFICAS Y CURVAS DE NIVEL DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

CURVAS DE NIVEL
Intersecciones de los planos z=c con
Con las intersecciones de con los planos z=c obtenemos las curvas de nivel que se observan en el siguiente mapa de contorno.
SECCIONES TRANSVERSALES O TRAZAS
Trazas respecto a los planos yz, con x=c
Traza con respecto al plano xz con y=c
Derivadadireccional
En el análisis matemático, la derivada direccional de una función multivariable sobre un vector dado, representa la tasa de cambio (pendiente) de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza a las derivadas parciales, ya que estas son derivadas direccionales en los vectores paralelos a los ejes.
Funciones escalares reales
La derivada direccional de una funciónsobre un vector unitario es la función definida por este límite:

Si la función es diferenciable, puede ser escrita en término de su gradiente

donde denota el producto escalar o producto punto entre vectores.
Demostración
El caso más sencillo de la derivada direccional se da en el espacio tridimensional. Supongase que se tiene una función diferenciable . La derivada direcciónal...