Calculo Vectorial

CAPITULO 1
______________________________ “Nuestras almas, cuyas facultades pueden comprender la maravillosa arquitectura del mundo, y medir el curso de cada planeta vagabundo, aún escalan tras el conocimiento infinito” Christopher Marlowe.

VECTORES EN R3
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Magnitudes escalares y vectoriales. Sistema coordenado tridimensional, gráfico de puntos en R3. ÁlgebraVectorial; suma, producto de un escalar por un vector, propiedades. Definiciones importantes del Álgebra Lineal. Producto interno, propiedades, proyecciones y aplicaciones. Producto externo, propiedades y aplicaciones. Productos triples, aplicaciones.

2 CAPITULO 1

Vectores en R3

1.1

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

Imaginémonos que queremos manejar el desplazamiento de un punto en elplano. Con un poco de creatividad podríamos comprender que el arreglo (a, b) sería suficiente para manejar este desplazamiento; donde el número real a representaría la sombra del desplazamiento sobre un eje horizontal (control horizontal del desplazamiento) y el número real b la sombra de este desplazamiento sobre un eje vertical (control vertical del desplazamiento); de esta forma convenimos queel “par ordenado” (a, b) representa la posición de un punto y solo uno en R2 (Filosofía de Descartes). Con igual razonamiento un arreglo (a, b, c) representaría la posición de un punto en R3 y así podríamos concluir que un arreglo (a1, a2, a3,……….., an) representa la posición de uno y solo un punto en Rn. Magnitudes, como el desplazamiento de un punto en un espacio cualquiera, que necesitan de unarreglo numérico para su identificación, se llaman MAGNITUDES VECTORIALES y el arreglo numérico que las representa es la TERNA del vector, los números reales que componen el arreglo son las coordenadas del vector, bajo este criterio en Física tenemos magnitudes vectoriales como la fuerza, velocidad, aceleración, etc. que necesitarían de una terna para su total identificación. Las magnitudes que conun simple valor numérico quedan totalmente identificadas, como cuatro estudiantes, dos árboles, cinco edificios, son MAGNITUDES ESCALARES y no necesitan de una terna para su identificación. Un punto, un vector o una terna la identificaremos como una magnitud vectorial. Emplearemos la siguiente notación para la recta real, el plano, el espacio tridimensional y el espacio n dimensional: R1 osimplemente R para la recta real R2 para todos los pares ordenados (x, y) R3 para todas las ternas ordenadas (x, y, z) Rn para todas las ternas ordenadas (x1, x2, x3, ……. , xn) Ejemplo 1-1 La terna (2, 3, -6); representa un vector o punto en R3. La terna (-1, 4, -2, 8, 10); representa un vector o punto en R5.

Convenimos con los lectores en usar letras mayúsculas para representar magnitudesvectoriales (excepto i, j, k que se usan para representar los vectores unitarios en R3 y ei que usaremos para representar vectores unitarios en Rn), y minúsculas para representar magnitudes escalares. Con este criterio escribiremos al vector V en R3 como: V = (x, y, z) o al vector V en Rn como: V = (x1, x2, x3,……., xn) recordar que en la terna el orden de los números reales que la componen no puede cambiar.1.1 Magnitudes Escalares y Vectoriales

3

Decimos que dos vectores V1 = (x1, y1, z1) y V2 = (x2, y2, z2) son iguales si, y solo si: x1 = x2, y1 = y2, z1 = z2. Son paralelos si, y solo si:

x1 y z = 1 = 1 x2 y2 z2
Propiedades de la igualdad vectorial

A= A A=B ⇒ B = A A = B ∧ B =C ⇒ A =C
EL VECTOR CERO, que lo designaremos como

Reflexiva Simétrica Transitiva

φ

, será:

φφ φ

= (0,0) Є R2 = (0, 0, 0) Є R3 = (0, 0, 0,……….., 0) Є Rn

NORMA DE UN VECTOR Sea A = ( a1, a2, a3, .....an ) Є Rn II A II

=

a + a + a + .......... ......... + a

2 1

2 2

2 3

2 n

=

∑a
1=1

n

2 i

La norma de un vector será siempre un número real no negativo, la norma del vector φ es cero.

VECTOR UNITARIO
∧ ∧

Si

V es un vector unitario entonces II V...