calculo vectorial

Cálculo Vectorial.
Tarea 1.
Prof. Cristian Jesús Rojas Milla.
1. Busque el dominio de los siguientes campos escalares
p
(a) f (x; y) = 1 3x2 6y 2 ;
x+5y
(b) g(x; y) = p
;
4
x2 y 2

(c)h(x; y) =

1
:
ln(1 xy)

2. Describir la grá…ca de cada función, calculando algunos de sus conjuntos de nivel
f : R2 ! R; (x; y) ! xy;

f : R2 ! R; (x; y) ! jyj ;

f : R2 ! R; (x; y) !max(jxj ; jyj):
3. Describir usando coordenadas polares, las curvas de nivel de la función de…nida por
f (x; y) =

2xy
;
x2 +y 2

si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)

4. Una pregunta:¿ laexpresión
z2 = 2

x2

y2 ,

puede de…nir el grá…co de una función?
Dibuja algunas curvas de nivel del grá…co que describe la última expresión:
5. Dada f : R2 ! R2 , de…nida por
f (x; y) = (x2y 2 ; 2xy);

queremos comprender algunas cosas de f , por ejemplo nos preguntamos
i) a donde mapea f las rectas verticales y horizontales es decir a donde envía conjuntos
de la forma
V = f(x0; y) : y 2 Rg;
H = f(x; y0 ) : x 2 Rg:
ii) Suponga que el tiempo lo llamo t, la variable para indicar el tiempo. Luego parametrizámos una parábola por
: R ! R2 ;
t ! (t; t2 ):
Compoga f con ¿quepuede interpretar usted de esta composición geométricamente y físicamente?
1

6 Sea S un subconjunto de Rn .
Demuestre que int(S) y ext(S), son conjuntos abiertos.
ext(S) = int(Rn S):
De unejemplo de una unión arbitraria de cerrados que no sea cerrada.
7 Demostrar que un conjunto S de Rn es cerrado si y sólo si S = (int(S)) [ @S:

8 Si f (x; y) = x3

2xy + 3y 2 , calcule

f (2; 3);1 2
f ( x ; y );
f (x;y+k) f (x;y)
;k
k

6= 0:

9 De…na el dominio de de…nición para el que cada una de las siguientes funciones está
de…nida y es real, e indique este dominio grá…camente.f (x; y) = lnf(16 x2 y 2 )(x2 + y 2 + 4)g;
p
f (x; y) = 16 (2x + 3y);
f (x; y) = arcsin( 2x y );
q x+y
f (x; y; z) = x2x+y+z 2 1 1
+y 2 +z

10 Dibuje los cilindros
z = x2 ;
z = jxj ;
z =...