Calculo vectorial

UNIDAD 2
Curvas en R2 y
Ecuaciones
Paramétricas.
UNIDAD 2
Curvas en R2 y
Ecuaciones
Paramétricas.

1.1 Ecuación paramétrica de la línea recta.
1.2 Curvas planas.
1.3 Ecuaciones paramétricas de algunas curvas y su representación gráfica.

Hay situaciones en las que se emplean tres variables para representar una curva en el plano, por ejemplo, la trayectoria querecorre un objeto lanzado al aire con un ángulo de 45, si la velocidad inicial es de 48 pies por segundo, el objeto recorre una trayectoria parabólica dado por y= -x272+x, sin embargo esta ecuación no proporciona toda la información, si bien dice donde se encuentra el objeto, no dice cuándo se encuentra en un punto dado (x,y) , para determinar este instante se introduce una tercera variable t,conocida como parámetro. Expresando x y y como funciones de t se obtienen las ecuaciones paramétricas:
x=242t
y=16t2+242t
A partir de este conjunto de ecuaciones se puede determinar que en el instante t=0 el objeto se encuentra en el punto (0,0)
En este problema en particular de movimiento, x y y son funciones continuas de t y la trayectoria resultante se le conoce comocurva plana.

Definición de una curva plana: Si f y g son funciones continuas de t en el intervalo I, entonces las ecuaciones x=ft y y=g(t) se les llama ecuaciones paramétricas y a t se le llama parámetro. Al conjunto de puntos (x,y) que se obtienen cuando t varia sobre el intervalo I se le llama gráfica de las ecuaciones paramétricas. A las ecuaciones paramétricas y a la gráfica,juntas, es a lo que se llama curva plana que se denota como C.

Eliminación del parámetro:

Ecuación rectangular
Ecuación rectangular
Sustituir en la otra ecuación
Sustituir en la otra ecuación
Ecuaciones
Paramétricas
Ecuaciones
Paramétricas
Despejar t de una de las ecuaciones
Despejar t de una de las ecuaciones

Definición de una curva suave: Una curva C representada por x=fty y=g(t) en un intervalo I se dice que es suave si f y g son continuas en I y nos simultáneamente cero, excepto posiblemente en los puntos terminales de I. La curva C se dice que es suave a trozos si es suave en todo subintervalo de alguna partición de I.

Evidencia 1:
1. Considerar las ecuaciones paramétricas x=t y=1-t
a) Completar la tabla
t | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |x | | | | | |
y | | | | | |

b) Trazar los puntos (x,y) generados en la tabla y dibujar una gráfica de las ecuaciones paramétricas, Indicar la orientación de la gráfica.
c) Hallar la ecuación rectangular mediante eliminación del parámetro y dibujar su gráfica. Comparar las gráficas del inciso b) y c).

2. Considerar las ecuaciones paramétricas x=4 cos²θ y=2senθ
a) Completar la tabla
t | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
x | | | | | |
y | | | | | |

b) Trazar los puntos (x,y) generados en la tabla y dibujar una gráfica de las ecuaciones paramétricas, Indicar la orientación de la gráfica.
c) Hallar la ecuación rectangular mediante eliminación del parámetro y dibujar su gráfica. Comparar las gráficas del inciso b) y c).
d) Si seseleccionaran valores de θ en el intervalo π2,3π2 para la tabla del apartado a)¿sería diferente la gráfica de b) Explicar razonamiento.
3. Considerar las ecuaciones paramétricas x=3t-1 y=2t+1
a) Completar la tabla
t | | | | | |
x | | | | | |
y | | | | | |

b) Trazar los puntos (x,y) generados en la tabla y dibujar una gráfica de las ecuaciones paramétricas,Indicar la orientación de la gráfica.
c) Hallar la ecuación rectangular mediante eliminación del parámetro y dibujar su gráfica. Comparar las gráficas del inciso b) y c).
4. Considerar las ecuaciones paramétricas x=t³ y=t22
d) Completar la tabla
t | | | | | |
x | | | | | |
y | | | | | |

e) Trazar los puntos (x,y) generados en la tabla y dibujar una...