Calculo vectorial

3.1 definición de función vectorial
En general una función es una regla que asigna a cada elemento del dominio un elemento de la imagen.
Una función con valor vectorial es simplemente una función cuyo dominio es un conjunto de números reales y cuya imagen es un conjunto de vectores. En este tema haremos un estudio sobre funciones vectoriales “r” cuyos valores son vectores tridimensionales.Esto se identifica, que para cada numero “t” de dominio “r” hay un valor único en V3 r(t) si f(t), g(t), h(t) son las componentes del vector r(t) entonces son funciones de valor real llamadas funciones componentes de “r” y se describen como:

r(t)= f(t)i + g(t)j……………………….…….Plano
r(t) = f (t)i + g(t)j +h(t)……………………..Espacio
Empleamos la letra “t” para denotar la variableindependiente por que representa tiempo en la mayor parte de las aplicaciones de las funciones vectoriales.
El cálculo de las funciones vectoriales físicamente de aplica para de mostrarlas leyes de Kepler que describen el movimiento de los planetas alredor del sol.
3.2 graficacion de curvas en función del parámetro t
Curvas en el espacio y funciones vectorial.
En la sección de curvas paramétricasdefinimos una curva C en elplano como un conjunto de pares ordenados (f (t), g (t)) junto con unas ecuaciones paramétricas x = f (t) e y = g (t);
Donde f y g
son funciones continuas de t en un intervalo I.
esta definición admite una extensión natural al espacio tridimensional ,como sigue. Una curva C en el espacio es un conjunto de tripletas ordenadas (f (t), g (t), h (t)) junto con unas ecuacionesparamétricas x = f (t) , y = g (t) y z = h (t) Donde f , g y h denotan funciones continuas de t en un intervalo I.

3.3 derivación de funciones vectoriales y sus propiedades
La definición de la derivada de una función vectorial imita la de las funciones con valores reales.

Para todo t en que el límite exista. Si r´(c) existe, se dice que r es derivable en c. Si r´(c) existe para todo c enel intervalo abierto, se dice que r es derivable en el intervalo I. La derivilidad de funciones vectoriales puede extendedse a intervalos cerrados, considerando límites laterales.
Aparte de la notación anterior se emplean otras notaciones para representar la derivada de una función vectorial. tal como se muestran a continuación:

entonces:
1.- si r(t)=f(t)i + g(t) j, donde f yg son funcionesderivables de t, entonces:
r´(t)= f´(t) i + g´(t) j Plano

2.- si r´ (t)= f´ (t) i + g´ (t) j +h´ (t) k donde f, g, h son funciones derivables de t entonces:
r´ (t) = f´ (t) i + g´ (t) j +h´ (t) k Espacio

3.4 Integración de funciones Vectoriales

Definición de la integral de una función Vectorial
1) Si rt=fti+gtidonde f y g son funciones continuas en [a,b] la integral definida (o antiderivada) de “r” es:
rt=[ ftdt ] i+[gtdt ] j

Y su integral definida sobre el intervalo a≤t≤b es:
abrtdt=abftdt] i+[abgtdtj
3.5 LONGITUD DE ARCO
En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal.Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.
Suponiendo que se tiene una curva rectificable cualquiera, determinada por una función , y suponiendo que se quiere aproximar la longitud del arco decurva s que va desde un punto a a uno b. Con este propósito es posible diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este método "más funcional" también se puede exigir que las bases de todos aquellos triángulos sean iguales a Δx, de manera que para cada uno existirá un cateto Δy asociado,...