Calculo vectorial

RECTA EN EL PLANO
Recta.- distancia entre dos puntos.
Ax+By+C=0 ec. General
Y=mx+b pendiente ordenada al origen
y-y1=m(x-x1) punto pendiente
m=y2-y1x2-x1 Ecuación de la pendiente entre dos puntos
y-y1=y2-y1x2-x1 (x-x1) Ecuación de la recta entre dos puntos.
xa+yb=1 Ecuación simétrica de la recta.
RECTA EN TRES DIMENSIONES
l={pp=p0+αA con α∈R}
d=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2
Punto medio.-es el que se encuentra a mitad de la recta.
x=x1+x22 y=y1+y22 z=z1+z22 } en tres dimensiones.
Punto de división de un segmento con una razón dada.
r=p1 pp p2
x=x1+x2 rr+1
y=y1+y2 rr+1
z=z1+z2 rr+1
Dados los puntos p1(3,-5,9) p2(4,4,1)
a) Calcular la distancia entre ambos puntos.
b) Calcular el punto medio.
c) Calcular el punto que divide el segmento enla razón r=35, graficar.

d=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z1-z2)2

d=(4-3)2+(4+5)2+(1-9)2

d=1+81+64

d=12.08

x=x1+x22=3+42=72=3.5
y=y1+y22=-5+42=-12=-0.5
z=z1+z22=1+92=102=5

x=3+4351+35=27585=13540=3.375

y=-5+4351+35=-13585=-1.6

z=1+9351+35=32585=16040=6

Ecuación Paramétrica de la Recta de la Ecuación Vectorial

P=pot α A
yx, y, z=x0, y0, z0+α(a, b, c)
x=x0 + α ay=y0 + α b z=z0 + α c
Expresa el conjunto de puntos así como la representación vectorial y paramétrica de la recta que pasa por:
a) P0 (1, -2, 5) // A=(7, 2, -1)
b) P0 (1, -4, 2) //A=(0,1,2)
l={PP=1, -2, 5 + α 7, 2, -1puntos
x, y, z =1, -2, 5 + α 7, 2, -1vectorial
x=1+7 α y=-2+2 α z=5-α parametrica
Mostrar si el P (-1, 3, 5), está en lasrectas del ejemplo anterior.
Para que un punto dado pertenezca a una recta debe satisfacer la ecuación de dicha recta, esto es, encontrar un valor único para α
x, y, z

P(-1, 3, 5)
(-1, 3, 5)=(7, -2, 5)+α (7, 2, -1)
-1= 1+7 α
α=-1-17=-27
3=-2+20
=3+22=52
5=5
α=0
(-1, 3, 5)=(1, -4, 2)+ α (0, 1, 2)
-1=1
3= -1+α
α=7
5=2+2α
α=32 ninguna pertenece a la rectaECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA
x-x0a=y-y0b=z-z0c
Obtener la ecuación simétrica de la recta que pasa por el punto (2, -3, 4) y tiene la dirección del vector (1, 5, -6)


x-x0a=y-y0b=z-z0c
x-21=y+35=z-4-6
x-21 = y+35
5x-2=y-13
5x-10-y-3=0
5x-y-13=0
x-21=z-4-6
-6x-2=z-4
-6x+12=z-4
-6x+12-z+4=0
-6x-z+16=0
6x+z-16=0

encontrar lasecuaciones simetricas de la recta de la interseccion de los planos
x+y-z-7=0 x+5y+5z+5=0


x+y-z-7=0
-x+5y-5z-5=0
0-4y-6z-12=0
4y+6z+12=0
5x+5y-5z-35=0
X+5y+5z+5=0
6x+10y-30=0
x+y-z-7=0
x+5y+5z+5=0 si y >0
x=0
y+z-7=0
5y+5z+5=0
Y=z+7
5(z+7)+5z+5=0
5z+35+5z+5=0
102=-40
Z=-4
Y=-4+7
Y=3
P2 (0, 3, -4)-5x-5y+5z+35=0
x+5y+5z+5=0
-4x+10z+40=0
4x-10z-40=0
Solución
x+z-7=0
x+5z+5=0
x=z+7
z +7+52+5=0
6z=-12
Z=-2
X=-2+7
X=5 P1 (5, 0, -2)
A= (-5, 3, -2)
P1 (5, 0, -2)
x+5-5= y3= z+2-2
Ecuación Cartesiana
x-x0a=y-y0b=z-z0c
x-x0a=y-y0b
bx-x0=ay-y0
y-y0b = z-z0c
cy-y0=bz-z0

encontrar las ecuaciones cartesianas de la recta que pasan por el P1, -1, 2 y quees parte del vector
A 2, 3, -1
3x-1=2y+1
3x-3=2y+2
3x-3-2y-2=0
3x-2y-5=0
-1y+1=3z-2
-y-1=3z-6
0=3z-6+y+1
0=y+3z-5

1) encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -1, 3) y tiene como vector el punto A(-1, 1, 2)
x, y, z=2, -1, 3+α -1, 1, 2
2) hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(-3, 4, -1) y (0, -1, 2)

x, y, z=-3, 4, 1+α -3,5, -3
3) determinar las ecuaciones paramétricas y cartesianas de la recta que pasa por el punto (-3, 1, 1) y es paralela al vector A(2, 1, -1)
x=-3+2α
y=1+α
z=1-α
x=x0a y=y0b z=z0c
x+32 = y-11
1(x+3)=2(y-1)
X+3=2y-1
X+2y+3+1=0
X+2y+4=0
y-11=z-1-1
-1(y-1)=1(z-1)...