Calculo Vectorial

]

X]

ρGϕ

]
X

ϕ

ϕ

G]

G

ρ,ϕ,]

3

X

3

ρ

ρ

G

U

\

ρ

ϕ
[

\

ϕ

G

ϕ

ρ

ρGϕ

[

COORDENADAS CILÍNDRICAS
Relación con lascoordenadas cartesianas
√
ρ = x2 + y 2
ϕ = arctan(y/x)
z=z

x = ρ cos ϕ
y = ρ senϕ
z=z

Relación de los vectores unitarios con los vectores
unitarios cartesianos
uρ = cos ϕux + senϕuy
uϕ = −senϕux+ cos ϕuy
uz = uz

Vector posición

r = ρuρ + z uz

Vector desplazamiento innitesimal
dr = dlρ uρ + dlϕ uϕ + dlz uz = dρuρ + ρdϕuϕ + dz uz

Elementos de supercie y volumen innitesimalesdSρ = dlϕ dlz = ρdϕdz ;

dSϕ = dlρ dlz = dρdz ;

dτ = dlρ dlϕ dlz = ρdρdϕdz

1

dSz = dlρ dlϕ = ρdρdϕ

]

]

GU

XU

U

sin θ Gϕ

ϕ

G

U

3

cos θ
U

X

X

θϕ

3
U

θ

θ

U

ϕ

sin θ

θ

G

θ

UG

\

ϕ

\

ϕ

G

U

[

[

sin θ Gϕ

COORDENADAS ESFÉRICAS
Relación con las coordenadas cartesianas
√
r = x2 √ y 2 + z2
+
θ = arctan( x2 + y 2 /z )
ϕ = arctan(y/x)

x = rsenθ cos ϕ
y = rsenθsenϕ
z = r cos θ

Relación de los vectores unitarios con los vectores
unitarios cartesianos
ur = senθ cos ϕux +senθsenϕuy + cos θuz
uθ = cosθ cos ϕux + cosθsenϕuy − senθuz
uϕ = −senϕux + cos ϕuy

Vector posición

r = r ur

Vector desplazamiento innitesimal
dr = dlr ur + dlθ uθ + dlϕ uϕ = drur + rdθuθ +rsenθdϕuϕ

Elementos de supercie y volumen innitesimales
dSr = dlθ dϕ = r2 senθdθdϕ ;

dSθ = dlr dlϕ = rsenθdrdϕ ;

dτ = dlr dlθ dϕ = r2 senθdrdθdϕ

2

dSϕ = dlr dlθ = rdrdθ

OPERACIONESDE DERIVACIÓN DE CAMPOS ESCALARES Y
VECTORIALES
Coordenadas cartesianas
Sea f = f (x, y, z ) un campo escalar y sea A(x, y, z ) = Ax (x, y, z )ux + Ay (x, y, z )uy +
Az (x, y, z )uz un campovectorial. En ese caso:

∂f
∂f
∂f
ux +
uy +
uz
∂x
∂y
∂z
∂Ax ∂Ay ∂Az
·A =
+
+
∂x
∂y
∂z
∂ Az ∂Ay
∂ Ax ∂Az
∂ Ay ∂Ax
×A =
−
ux +
−
uy +
−
uz
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
∂ 2f
∂2f
∂...