Calculo Vectorial

Unidad 1 Algebra de vectores.
1.1 Definición de un vector en R2, R3 y su Interpretación geométrica.

Un vector es un objeto matemático con dirección y magnitud. La palabra vectores se refiere a los elementos de cualquier Rn. En R1 = R el vector es un punto, que llamamos escalar. En R2 el vector es de la forma y en R3 el vector es de la forma

En R2:

la suma de dos vectores se define por:sean a y b vectores en R2, entonces

el producto escalar se define por: sea α Є R y a un vector en R2, entonces:

Significado geométrico de la suma de vectores y el producto escalar en R . (fig. 1.1)

2

(a1 + b1, a2 + b2) a

b

Fig.1.1

Observemos que si vectores

,

entonces la

suma

de

los

El cual se obtiene trasladando la representación de los vectores a y b. Demanera, que se puede obtener a + b dibujando un paralelogramo. A esta regla de suma se le llama la regla del paralelogramo. (fig. 1.2)

αa

a

Fig.1.2

Para el producto escalar αa, se puede observa que si se alarga o se acorta el vector a por un factor α. Si se invierte la dirección del vector a. En R3: La suma de vectores se define por: sean a, b Є R3, entonces

El producto escalar sedefine por: sea α Є R y a un vector en R3 , entonces

Sean a y b vectores en Rn, tal que ������ ������ . El producto interno de a y b representado por a ∙ b ó , es el escalar que se obtiene multiplicando los componentes correspondientes de los vectores y sumando luego los productos resultantes, esto es: Definición: ������ Los vectores a y b se llaman ortogonales si su producto interno es igual acero. Definición: Sea ������ un vector en Rn, la norma (magnitud o longitud) del vector, representada de la forma │a│ ó ║a ║, se define como la raíz cuadrada no negativa de Esto es: ������

2 2 2 a  a  a  a  a12  a2  a3  ...  an

1.2 Introducción a los campos escalares y vectoriales.
Campo: Si se asigna a cada punto del espacio el valor de una función unívoca de punto, se dice queeste espacio, como base o soporte de dicha magnitud, es un campo. (fig. 1.3) Si la magnitud es escalar hablamos de un campo escalar. Si la magnitud es vectorial hablamos de un campo vectorial. En general tanto los campos escalares como los vectoriales son función del punto y del tiempo. Cuando los cambios no dependen del tiempo se dice que son estáticos o estacionarios.

Los campos escalares sevisualizan mediante las superficies de nivel o iso-escalares, que son el lugar geométrico de los puntos del espacio para los cuales la función escalar toma el mismo valor, por ejemplo:

Cuando estas superficies se cortan por un plano se convierten en las llamadas curvas de nivel o isoescalares, que según la magnitud física que representan reciben un nombre particular: las isotermas se definen por:Las isóbaras se definen por:

fig. 1.3
Los campos vectoriales representan magnitudes de carácter vectorial: éstos cabe citar el campo de velocidades en un fluido: ������ Entre

De manera análoga a los campos escalares, se dice que un campo vectorial es estacionario cuando la magnitud característica del mismo no es función del tiempo, como por ejemplo el gravitatorio: g y elelectrostático: Entre los campos vectoriales son especialmente importantes los campos de fuerzas. Se dice que en una cierta región del espacio hay un campo de fuerzas cuando en todo punto de la misma hay una fuerza que toma un valor diferente para cada punto y en cada instante de tiempo. A partir de ahora nos referiremos a los campos estáticos de fuerzas.

1.3 La geometría de las operaciones vectoriales.

Suma de v ec tor es

Para sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

Regla del paralelogramo Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los...