calculo vectorial

Problemas
´
de Calculo Vectorial
Ernesto Aranda

Pablo Pedregal

Ernesto Aranda

Pablo Pedregal

Universidad de Castilla - La Mancha

´
PROBLEMAS DE CALCULO
VECTORIAL

T´
ıtulo: Problemas de C´lculo Vectorial
a
Tercera Edici´n, febrero 2013
o
Primera edici´n publicada por Septem Ediciones, marzo 2004
o
Segunda edici´n publicada por Lulu.com, enero 2009
o
c b ErnestoAranda y Pablo Pedregal, 2013
Impreso por Lulu.com

A
Composici´n realizada con L TEX
o

Todas las im´genes del libro han sido realizadas con PGFPLOTS
a
Este libro est´ disponible en descarga gratuita en la direcci´n
a
o
http://matematicas.uclm.es/earanda/?page_id=152

Cap´
ıtulo

PREFACIO

Estimado lector:
tienes ante t´ una nueva edici´n del libro Problemas de C´lculoVectorial,
ı
o
a
publicado por primera vez en la editorial Septem Ediciones en marzo de
2004, y reeditado en 2009 bajo la modalidad de edici´n Print On Demand 1
o
con Lulu.com. En esta nueva edici´n hemos corregido una gran cantidad
o
de errores presentes en las ediciones anteriores, y hemos aprovechado para
modificar la estructura de los temas para adaptarlos a los cambios suscitados
por laintegraci´n de los estudios que impartimos al nuevo Espacio Europeo
o
de Ense˜anza Superior.
n
Lo que el lector tiene en sus manos no pretende ser m´s que un manual
a
para ejercitarse en la resoluci´n de problemas de c´lculo de funciones de
o
a
varias variables, orientado a un primer curso de carreras cient´
ıfico-t´cnicas.
e
Nuestra intenci´n ha sido recopilar una cantidad suficiente deproblemas con
o
soluciones para, por una parte, evitar que el alumno repita innecesariamente
ejercicios, y por otra, poder contrastar sus resultados con las soluciones dadas.
Para facilitar su uso hemos incluimos tambi´n un buen n´mero de ejercicios
e
u
completamente resueltos que esperamos sirvan a la vez como orientaci´n y
o
referencia para abordar el resto de problemas.
La resoluci´n deejercicios es, sin lugar a dudas, el aspecto esencial en el
o
estudio de las asignaturas de matem´ticas. Pero aunque aprender a resolverlos
a
resulta clave para superar estas asignaturas, no hay sin embargo una metodolog´ expl´
ıa
ıcita que asegure el ´xito. Si bien, la unica forma de aprender a
e
´
hacer ejercicios es haci´ndolos, el exceso de repetici´n suele traer consigo un
e
oaprendizaje que se basa m´s en el uso de la memoria que en el del razonaa
miento. Es entonces cuando cualquier nueva variante de un ejercicio se torna
muy dif´ para el alumno, lo que le lleva a la frustrante sensaci´n de realizar
ıcil
o
un considerable esfuerzo en el estudio de una asignatura de la que luego no
obtiene resultados satisfactorios.
Los libros de problemas como ´ste pretendeninculcar en el alumno esa
e
metodolog´ necesaria para poder abordar los ejercicios, tratando de conjugar
ıa
las ideas presentes en los resultados te´ricos con los ejemplos realizados, para
o
aplicarlas luego de forma adecuada al nuevo problema. Es en este punto
1 Impresi´n
o

bajo demanda

4

PREFACIO

cuando se requiere que el estudiante realice el esfuerzo m´ximo, que consiste
aen enfrentarse de forma aut´noma a la resoluci´n del problema.
o
o
Los contenidos que comprenden los ejercicios que exponemos aqu´ corresı
ponden a un curso t´
ıpico de iniciaci´n en el c´lculo de funciones de varias
o
a
variables: continuidad, derivaci´n parcial, integraci´n m´ltiple, una breve inio
o
u
ciaci´n a la geometr´ diferencial a trav´s del estudio de curvas y superficies
oıa
e
y los teoremas cl´sicos del c´lculo vectorial; todo ello con un enfoque definia
a
tivamente no anal´
ıtico. Hemos incluido tambi´n un cap´
e
ıtulo inicial destinado
a repasar aspectos de geometr´ del plano y del espacio, que constituyen el
ıa
entorno b´sico a partir del cual el c´lculo vectorial encuentra una referencia
a
a
visual siempre util, y hemos tratado de ilustrar...