Calculo vectorial

1.- Demuestre que x2+y2+z2+4x-6y+2z+6=0 es una ecuación de una esfera, encuentre su centro y su radio, grafíquela.

Completamos cuadrados y despejamos de la ecuación original.

(x2+4x+4)+(y2-6y+9)+(z2+2z+1)=-6+4+9+1
(x+2)2+(y-3)2+(z+1)2=8
por lo tanto es una esfera ya que la ecuación de una esfera es:
x2+y2+z2=r2
con centro (-2,3,-1) y radio √8=2√2

2.-Encuentra la ecuación de laesfera con centro (2,-3,6) que toca el plano xy y grafícala.

Como sabemos que el radio es de 6 por lo tanto siguiendo la ecuación general de la esfera, la ecuación quedaría:

X2+y2+z2=r2

(x-2)2+(y+3)2+(z-6)2=62
(x-2)2+(y+3)2+(z-6)2=36

3.-Demuestre que el triángulo con vértices P(-2,4,6) Q(1,2,-1) y R(-1,1,2) es un triángulo equilátero y grafíquelo.

Como PQ=QR=PR entonces:
PQ= √[1-(-2)]2+(2-4)2+(-1-0)2= √9+4+1=√14

QR= √ (-1-1)2+(1-2)2+[2-(-1)]2=√4+1+9=√14

PR= √ [-1-(-2)]2+(1-4)2+(2-0)2= √1+9+4=√14

Como son iguales las longitudes de P,Q,R, si es un triángulo equilátero.

4.-Encuentra la distancia del punto (3,7,-5)a cada uno de los siguientes planos y gráfica.
a)Plano xy b)Plano xz c)Plano yz

a) La distancia desde un punto con respecto al plano xy es el valorabsoluto de la coordenada z por lo tanto:
l-5l=5
b) La distancia desde un punto con respecto al plano xz es el valor absoluto de la coordenada y por lo tanto:
l7l=7
c) La distancia desde un punto con respecto al plano yz es el valor absoluto de la coordenada x por lo tanto:
l3l=3

5.-Encuentra la ecuación y grafica la esfera con centro (1,-4,3) y radio de 5 que intersecta con el plano xz.Como la ecuación de la esfera es:
x2+y2+z2=r2

entonces:
(x-1)2+[y-(-4)]2+(z-3)2=52

como la intersección en el plano xz es el conjunto de puntos sobre la esfera y su coordenada es y, ponemos y=0 entonces queda:
(x-1)2+42+(z-3)2=25
(x-1)2+(z-3)2=25-16
(x-1)2+(z-3)2=9
Por lo tanto la ecuación quedaría:
(x-1)2+(z-3)2=32
Lo que representa un circulo en el plano xz con centro (1,0,3) yradio de 3.

6.-Encuentra la ecuación de la esfera con centro, (6,5,-2) y radio √7. Describe su intersección con cada uno de los planos coordenados y graficar.

La ecuación de la esfera es:
(x-6)2+(y-5)2+[z-(-2)]2=(√7)2
(x-6)2+(y-5)2+(z+2)2=7
La intersección con el plano xy es el conjunto de puntos en la esfera cuya coordenada z es 0.Entonces:
(x-6)2+(y-5)2=7-4, z=0
(x-6)2+(y-5)2=3
Yrepresenta un circulo en el plano xy con centro (6,5,0) y radio de √3.

Para la intersección en el plano xz proponemos y=0. Entonces:
(x-6)2+(z+2)2=18
Por lo tanto la esfera no se intersecta en el plano xz.

Para la intersección en el plano yz proponemos x=0. Entonces:
(y-5)2+(z+2)2=29
Por lo tanto tampoco se intersecta en el plano yz.

7.-Calcule ∞ y el peso de la siguiente figura.∑Fx=-T1x+T2x=0
∑Fy=T1y+T2y-w=0

Entonces:
-700cos∞+1200cos40°=0…..eq.1
700sen∞+1200sen40°=w…..eq.2

-700cos∞=-1200cos40°
cos∞=-1200cos40°
-700
∞= cos-1[-1200cos40°/-700]

∞=44.11°

Sustituir ∞ en eq2.
700sen∞+1200sen40°=w
700sen(44.11°)+1200sen40°=w
w=487.22+771.34
w=1258.56N

8.-F1 y F2 tienen una fuerza de F1=10lb y F2=12lb y actúan sobre el punto P encuentra laresultante F y su dirección.
Sumatoria de fuerzas.
∑Fx=-322Ncos45°+386Ncos30°
=106.6
∑Fy=322sen45°+386sen30°
=420.68
Resultante= √ (106.6)2+(420.68)2
=433.97
Direccion= tan-1 (420.68/106.6)
=75.78°

9.-Encuentra la tensión en cada cuerda.

∑Fx= -Asen52°+Bsen40°=0
∑Fy= Acos52°+Bcos40°-49.05=0

Multiplicando
-A.615+B.766=0 (.788)A .788+B.642=49.05 (.615)

-A.484+B.603=0
A .484+B.394=30.16
B.997=30.16

B=30.16/.997
B=30.35N

Despejando B
A.788+(30.35).642=49.05
A.788=49.05-19.48
A=29.57/.788
A=37.52N

David Velazquez Villegas

Calculo Vectorial

Unidad 4y5

Dionisio Alvarez Vilchis

13 de agosto del 2012
MARCO TEORICO
En geometría, un sistema de coordenadas es un sistema que...