Calculo vectorial

´ CALCULO VECTORIAL
˜ GUADALUPE MUNOZ MART´ INEZ Enero 2008

2

Cap´ ıtulo 1

´ INTRODUCCION
1.1. N´ meros Reales u

N´meros naturales N, son los s´ u ımbolos que se usan para contar los elementos de un conjunto. 1, 2, 3, · · · N´meros Enteros Z se clasifican en positivos, negativos y cero y se generan u al anteponer a cada n´mero natural un signo + ´ −. −3, −2, −1, 0, 1, 2 etc. u oN´meros racionales Q se conocen tambi´n como fracciones y son aquellos u e que se escriben de la forma p donde p y q son enteros (q = 0). p se llama q numerador y q denominador. N´meros irracionales I son aquellos que no se pueden escribir de la forma u √ p 2, e. q donde p y q son enteros. π, El conjunto de todos los n´meros racionales e irracionales se llama conjunto u de los n´meros reales R. As´ R= Q ∪ I . u ı,

1.1.1.

Representaci´n Geom´trica de los n´ meros reales o e u

La representaci´n geom´trica de los n´meros reales se hace sobre una recta o e u num´rica, asignando a cada n´mero un punto y s´lo uno sobre la misma. A esta e u o relaci´n entre n´mero y punto se le llama correspondencia biun´ o u ıvoca o uno a uno. Si se escribe a ∈ R, quiere decir que a es un elemento delconjunto R, es decir, que a es un n´mero real. u El valor absoluto de un n´mero a se escribe |a| y se define como u a si a ≥ 0 −a si a ≤ 0 Para el valor absoluto de dos n´meros se cumple la desigualdad u |a| = |a + b| ≤ |a| + |b| 3 (1.1)

(1.2)

4

´ CAP´ ITULO 1. INTRODUCCION

Figura 1.1: Representaci´n geom´trica de R. o e

Figura 1.2: Semirrectas positiva y negativa.

1.2.

SISTEMASCOORDENADOS

Para localizar una configuraci´n geom´trica es necesario definir una forma o e de referencia. Entre las formas de referencia m´s simples est´n los sistemas a a de coordenadas cartesianas. La caracter´ ıstica principal de estos sistemas es la asociaci´n de cada punto que compone una l´ o ınea recta con la totalidad de los n´meros reales, es decir, se hace corresponder a cada n´meroreal un punto u u unico sobre la recta y viceversa. ´ Consid´rese una recta X y un punto O en ella denominado origen. El punto e O divide a la recta en dos semirrectas, la parte a la izquierda de O se llamar´ semirrecta negativa y la parte a la derecha de O semirrecta positiva. a Escogiendo sobre la semirrecta positiva un punto A puede definirse la unidad de longitud para la recta como el segmento OA.OA = 1. Una vez establecida la unidad de longitud se colocan marcas consecutivas con espacios entre ellas iguales a esta longitud obteni´ndose as´ una graduaci´n e ı o de la recta. Para relacionar los puntos de la recta X con un conjunto de n´meros reales u

Figura 1.3: Unidad de longitud.

1.2. SISTEMAS COORDENADOS

5

Figura 1.4: Recta graduada. se escoge un punto P sobre ella y sedefine el n´mero x asociado a P mediante u la f´rmula o x= OP OA (1.3)

si P se encuentra sobre la semirrecta positiva. Para un punto Q en la semirrecta negativa, la coordenada x correspondiente estar´ definida por a x=− OQ OA (1.4)

Figura 1.5: Puntos en las semirrectas positiva y negativa. Generalmente se coloca una punta de flecha en el extremo derecho de la semirrecta positiva, que indica elsentido positivo de la recta, en vez de los signos + y −. A cada n´mero real x le corresponde uno y s´lo uno de los puntos de X. u o Esta asociaci´n de puntos de X y el conjunto de los n´meros reales define un o u Sistema Coordenado del espacio Unidimensional constituido precisamente por los puntos de X, tambi´n llamado Recta Num´rica. e e

Figura 1.6: Puntos en las semirrectas positiva y negativa.6

´ CAP´ ITULO 1. INTRODUCCION

Se pueden definir sobre este espacio operaciones de adici´n y sustracci´n o o como: z =x±y = OP OQ ± OA OA (1.5)

Es decir, la adici´n o sustracci´n de dos reales se representa sobre la recta o o coloc´ndose primero a una distancia OP del origen y avanzando a partir del a punto P una distancia OQ. La posici´n final corresponder´ a la suma P + Q, o, o a z...