calculo vectorial

EJERCICIOS RESUELTOS CÁLCULO VECTORIAL
1.

. Conteste adecuadamente los siguientes ítems:
a. Si f un campo escalar y F un campo vectorial, diga cuál(es) de las siguientes expresiones tiene
significado e indique si es un campo escalar, vectorial o ninguno.
Rot F × f + F

i.

ii f - divF

b. De una interpretación para cada una de las integrales

iii



C

Rot(div(div( f )))f ( x, y)ds y

 F( x, y, z)  d r .
C

c. Es Verdad que si F : D  R  R es un campo en el que div F = 0 para todo (x, y, z)  D, entonces
F es un campo vectorial conservativo en D
3

Solución:
a.
i.
ii.

3

Es un campo vectorial.
f es campo vectorial y divF es escalar. No tiene sentido
div(div( f )) div(de un escalar). No tiene sentido.

iii.

b. La primera puede serel área de una superficie cilíndrica con directriz C o la masa de un alambre que
tiene la forma de la curva C y densidad igual a f ( x, y) .
La segunda es el trabajo que realiza el campo de fuerzas Fx, y, z  al desplazar una partícula sobre la
curva C
c. Si div F = 0, no se puede garantizar nada respecto a que el campo es o no conservativo. La proposición
es falsa.
2. Considere el campovectorial Fx; y; z   senz  5e y senx ; e z  5e y cos x ; e z y  x cos z

a. Halle rot F y divF
b. Halle una función potencial para F .
Solución:
a.


rot F 

R Q P R Q P

;
 ;

y z z x x y

rot F  e z - e z ; cos z  cos z;  e y senx  e y senx  0; 0; 0


div F 

p p p


  5e z cos x  5e z cos x  e z y  x sen z  e z y  x sen z
x x xb. Fx; y; z   senz  5e y senx ; e z  5e y cos x ; e z y  x cos z

f
 senz  5e y senx
x

f
 e z  5e y cos x
y

f
 e z y  x cos z
z

f x; y; z   5e y cos x  x sen z  g  y; z 

f y  5e y cos x  g y  y; z   e z  5e y cos x  g y  y; z   e z  g  y, z   ye z  hz 
f x; y; z   5e y cos x  x sen z  ye z  hz 
f z  x cos z  ye z  h' z  x cos z  ye z  hz   c

f x; y; z   5e y cos x  x sen z  ye z  c

3. Considere el campo vectorial Fx; y; z  e x y  z cos x ; e x  2 e y cos z ; sen x  2e y sen z
a. Halle rot F y divF
b. Halle una función potencial para F.
Solución:
a.


rot F 

R Q P R Q P

;
 ;

y z z x x y

rot F  2e y senz  2e y senz; cos x  cos x; e x  e x  0; 0;0

div F 
b.

p p p


 e x y  z senx  2e y cos z  2e y cos z  e x y  z senx
x x x

Fx; y; z  e x y  z cos x ; e x  2 e y cos z ; sen x  2e y sen z
f
 sen x  2e y sen z
z

f
 e x  2 e y cos z
y

f
 e x y  z cos x
x

f x; y; z   e x y  z senx  g  y; z 

f y  e x  g y  y; z  e x  2 e y cos z  g y  y; z   2 e y cos z  g y, z   2 e y cos z  hz 
f x; y; z   e x y  z senx  2 e y cos z  hz 
f z  sen x  2e y sen z  h' z   sen x  2e y sen z  h' z   0  hz   c

f x; y; z   e x y  z senx  2 e y cos z  c
4.

La siguiente integral múltiple está expresada en coordenadas cilíndricas
5
2

2

  
0

0

5 r 2
3r

r dz dr d 

a. A partir de los límites de integración yutilizando coordenadas esféricas, describa la región sobre la cual
se integra.
b. Calcule la masa de la región indicada si la densidad en cualquier punto es constante.
Solución
a.



R  (r; ; z ) / 0    2 , 0  r  5 ,

3r  z  4  r 2



z  3r  cono  z 2  3( x 2  y 2 )   2 cos2   3 2sen 2  tan 

1

 0  
6
3

z  5  r 2  esfera  x 2  y 2  z 2 5  0    5




R  (  ; ; ) / 0    2 , 0    , 0    5 
6



b.

m

  ( x, y, z)dV  

2

0

R



 
0

6

0

5

k 2 senddd 

5 5k
(2  3 )  3,1371
k
3

5. Calcule la masa del sólido W definido por la región del primer octante interior a la esfera

x 2  y 2  z 2  16 y encima del semicono z 

1 2
x  y 2 ....