Calculo Vectorial

Andrés Campos Ortiz

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

Calculo III (521227)
Profesor Ayudante : Jorge Ruiz C. : Andrés Campos O.Calculo Vectorial
Green, Gauss, Stokes
GREEN A.- Dominios simples conexos. 1.- Encontrar el área encerrada por la elipse x2 y 2 + 2 = 1 ; a,b ∈ IR 2 2 a b

Como es una curva cerrada simple,entonces el área de la región esta dada por: 1 A( D) = ∫ − ydx + xdy 2C
1 ∫ (− y, x)d r 2C Solución: x = a cos t   0 ≤ t ≤ 2π Sea y = bsent  ⇒ Entonces r (t ) = ( x(t ), y (t )) es una representaciónpara r (t )`= (− a·sent , b·cos t )
2π 2π

C:

x2 y2 + =1 a 2 b2

∫ Fd r = ∫ (−bsent , a cos t )·(−asent , b cos t )dt = ∫ abdt = ab2π
C 0 0

∴ A( E ) = abπ

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B.- Regiones Multiconexas

∫ Fd r
2.- Calcular Solución:
C

 −y x  F ( x, y ) =  2 , 2 2 2  2 2  x + y x + y  y C : 4 x + 9 y = 36 donde

∂P ∂Q = ∂y ∂x Setiene que  ∂Q ∂P  ∴∫ − d ( x, y ) = 0 = ∂x ∂y  D

C

∫ Fd r − ∫ Fd r γ

Donde γ es una curva cualquiera interior a C y que encierra el origen, y D es la región limitada por C y γ . 2 2 r (cost , sent ), 0 ≤ t ≤ 2π Por ejemplo γ : x + y = 1

∴ ∫ Fd r =
C

2π

∫ (− sent , cos t )(− sent , cos t )dt =
0
^

2π

∫ dt = 2π
0

GAUSS 3.- Evaluar la integral ∫ (0, y, z ) ndA dondeS es la superficie en el primer octante
S

determinado por el plano x + y + z = 1 y los planos coordenados x=0, y=0 y z=0. n Normal exterior a S.

Solución: F ( x, y, z ) = y j + zk

C1Div( F ( x, y, z )) = (0 + 1 + 1) = 2
^ 1 F ( x, y, z ) ndA = ∫∫∫ Divf ( x, y, z )d ( x, y, z ) = ∫∫∫ 2d ( x, y, z ) = 2V ( D) = 2( ) ∫ 6 S D D

Donde D es la region limitada por S (prisma) se tieneque: D = {( x, y, z ) : 0 ≤ z ≤ 1 − x − y, 0 ≤ y ≤ 1 − x, 0 ≤ x ≤ 1}

∫ d ( x, y , z ) = ∫
D

1 1− x 1− x − y

∫ ∫
0

dzdydx =

0 0

1 6

^ 1 1 ∴ ∫ F ( x, y, z ) ndA = 2· = 6 3 S...