Calculo Vectorial

Derivada direccional y Gradiente

Ejercicios resueltos
1. Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones a lo largo de vectores unitarios en los puntos indicados y endirecciones paralelas al vector dado: a) f(x, y) = xy (x0; y0) = (e; e) d = 5i + 12j
b) f(x, y) = exy + yz (x0; y0; z0) = (1; 1; 1) d = (1; -1; 1)
Solución
a) Recordando que Duf(x0) = f(x0)·u,debemos hallar el gradiente de la función y un vector unitario en la dirección dada.

b) En este caso tendremos:

2. Suponer que una montaña tiene forma de un paraboloide elíptico z = c - ax2 -by2, donde a, b y c son constantes positivas, x y y son las coordenadas este-oeste y norte-sur, y z es la altitud sobre el nivel del mar (x, y y z están medidas en metros). En el punto (1; 1), ¿en quédirección aumenta más rápido la altitud? Si se suelta una canica en (1; 1), ¿en qué dirección comenzará a rodar?

Solución
Una función aumenta más rápidamente en la dirección del vector gradiente,y disminuye más rápidamente en la dirección opuesta al mismo. En nuestro caso:

Ésa es la dirección de máximo crecimiento. La canica rodará en la dirección en la cual más rápidamente disminuya laaltura, es decir, la opuesta a la recién hallada:
Máximo decrecimiento
3. El capitán Ralph tiene dificultades cerca del lado soleado de Mercurio. La temperatura del casco de la nave, cuando él estáen la posición (x; y; z), viene dada por , donde x, y y z vienen dados en metros. Actualmente está en el punto (1; 1; 1).
a) ¿En qué dirección deberá avanzar para disminuir más rápidamente latemperatura?
b) Si la nave viaja a e8 m/s, ¿con qué rapidez decrecerá la temperatura si avanza en esa dirección?
c) Desafortunadamente el metal del casco se cuarteará si se enfría a una tasa mayor quegrados por segundo. Describir el conjunto de direcciones posibles en que puede avanzar para bajar la temperatura a una tasa no mayor que ésa.

Solución
a) La dirección de máximo decrecimiento u...