calculo vectorial

CURSO DE NIVELACIÓN
Apunte teórico - práctico

Módulo 6: Vectores

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VECTORES

Vamos a definir un vector como un segmento de recta orientado que queda definido por tres
propiedades:
Su dirección, determinada por la recta que contiene al vector.
Su sentido, que determina el origen y el extremo del vector.
Su módulo, determinado por su longitud.
Los vectores que estudiaremos en este curso son losllamados vectores geométricos o vectores
euclidianos. Estos vectores se utilizan para representar magnitudes físicas como las fuerzas y las
velocidades, entre otras.
Matemáticamente se simbolizan con una letra, por ejemplo la letra A, sobre la cual se escribe
una flecha, A; también se suele escribir en negrita, A.
AóA

Se lee “vector A”

Gráficamente un vector se representa por una flecha queestá determinada por dos puntos, el
origen (donde nace la flecha) y el extremo (donde se ubica la punta de la flecha).

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En la figura vemos que la recta punteada es la que define la dirección, la flecha indica el sentido, y
la longitud del segmento de recta entre el origen y el extremo es el módulo.
De la definición dada para un vector se tiene que:
Dos vectores son iguales cuando tienen igualdirección, igual módulo e igual sentido. Es importante ver que dos vectores pueden ser iguales aunque estén contenidos en rectas
distintas, es decir que sus orígenes y sus extremos no coinciden.

Dos vectores son paralelos cuando tienen la misma dirección. Es decir que deben
estar contenidos en rectas paralelas. En particular cuando dos vectores tienen misma dirección
y sentido contrario se dice queson vectores antiparalelos.
Dos vectores son perpendiculares cuando están contenidos en rectas perpendiculares.

Componentes de un vector
Las componentes de un vector se definen a partir de su origen y su extremo, y definen la
dirección, el módulo y el sentido del vector en un sistema de coordenadas determinado. En este curso
trabajaremos con un sistema de coordenadas cartesianas.1 Pero antes decalcular estas componentes
vamos a recordar cómo graficar un punto en un sistema de coordenadas cartesianas.
Como mencionamos anteriormente (en los capítulos en los que trabajamos con funciones). La
representación geométrica de los sistemas de coordenadas consiste en dos o tres ejes perpendiculares
entre sí y un origen de coordenadas que corresponde al punto en el cual dichos ejes se intersecan. Deeste modo las coordenadas se dan en forma de pares ordenados o ternas ordenadas, respectivamente.
Cada elemento del par o de la terna se corresponde con uno de los ejes de manera unívoca.

1

Existen otros sistemas de coordenadas como por ejemplo coordenadas polares, cilíndricas y esféricas.

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Ejemplo: Supongamos que el punto A tiene coordenadas 2 en x, −2 en y y 3 en z; y que el punto
B tienecoordenadas 2 en x y −2 en y. Esto se simboliza de la siguiente manera: A = (2, −2, 3) y
B = (2, −2).

En la figura de la derecha estamos viendo el plano xy, mientras que en el gráfico de la izquierda
el plano xy estaría perpendicular a la hoja. Las coordenadas del punto B en el espacio quedan
representadas por la terna (2, −2, 0).
Ahora, al comienzo de este capítulo dijimos que un vector serepresenta gráficamente como una
flecha que une dos puntos, el origen y el extremo. De modo que las componentes Ax , Ay y Az del
vector A = (Ax , Ay , Az ) están dadas por la resta de las coordenadas del extremo y del origen. Esto
se hace del siguiente modo: supongamos que el origen tiene coordenadas O = (Ox , Oy , Oz ) y que el
extremo tiene coordenadas P = (Px , Py , Pz ), entonces las componentes deA serán
Ax = Px − Ox
Ay = Py − Oy
Az = Pz − Oz

(1)

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Ejemplo: Si el origen y el extremo son los puntos O = (1, 2, 0) y P = (3, −3, 4), respectivamente.
Entonces las componentes de A serán

Ax = Px − Ox = 3 − 1 = 2
Ay = Py − Oy = −3 − 2 = −5
Az = Pz − Oz = 4 − 0 = 4

Por lo tanto, en este caso, el vector A se simboliza como A = (2, −5, 4).
Ejercicio
Completa el siguiente cuadro y representa...