Calculo Vectorial

1.1 Definición de un vector en R2, R3 y su interpretación geométrica


Un vector es un objeto matemático con dirección y magnitud. La palabra vectores se refiere a los elementos de cualquier Rn. En R1 = R el vector es un punto, que llamamos escalar. En R2 el vector es de la forma (x1, x2) y en R3 el vector es de la forma (x1, x2, x3)

VECTOR EN R2

Un vector a (de dos dimensiones) es unpar ordenado de números reales (a1, a2), y la representación a = (a1, a2). La magnitud |a| de a está dada por = 1+2La dirección de a es la dirección del origen al punto (a1, a2) a lo largo de la recta que une estos puntos. Esta dirección está determinada por el menor ángulo positivo θ cuyo lado inicial es la parte positiva del eje x y cuyo lado terminal es el segmento que une al origen con (a1,a2).

VECTORES EN R3

Un vector de R3 es una terna ordenada de números reales. Denotada de la siguiente manera: =(,,) Geométricamente a un vector de R3 se representa en el espacio como un segmento de recta dirigido.
Suponga que se tienen los puntos. Si trazamos un segmento de recta dirigido desde hacia tenemos una representación del vector.


Representación de las operaciones en y .Dirección de los vectores |
Definición 1: La dirección de un vector es el ángulo medido en radianes que
forma el vector con el eje positivo de las
El ángulo se puede medir haciendo pero es importante localizar el vector puesto que da valores entre y mientras que el ángulo buscado estará entre y

Ejemplo 1: Encontrar la dirección del vector
; sin embargo el vector está en el segundocuadrante; por lo
tanto el ángulo será de

Representación geométrica del producto por escalar.

La multiplicación de un vector por un escalar
| | |
Ver la animación. | Ver la animación. | Ver la animación. |
Si el vector conserva su dirección; si el vector obtenido tiene la dirección contraria.

Representación geométrica de la suma y la resta de vectores.

Para vectores posiciónla suma es el vector representado por la diagonal principal del paralelogramo cuyos lados están conformados por los vectores y . La resta o es el vector representado por la otra diagonal ( al hacer el punto final del vector es y el inicial , por eso la flecha, si fuera el punto final sería el de y el vector tendría la dirección opuesta )
| |
Ver la animación. | Ver la animación. |Definición 2 : Sean los ángulos que forma el vector con los ejes
positivos respectivamente. Estos son los ángulos directores del vector
Como
; son los cosenos directores.

Ejemplo 2: Encontrar el vector de magnitud 3 cuyos ángulos directores son

con lo que el vector es un vector unitario con la dirección descrita. Como se quiere que el vector tenga magnitud el vector será

Ejemplo 3:Encontrar el vector cuyos ángulos directores sean

Como cos
no existe ningún vector que tenga esa dirección.

Respecto a la suma y resta de vectores en los vectores resultantes son igual que para la diagonal.
Principal del paralelogramo para la suma y la otra diagonal con las mismas observaciones para la resta

Representación gráfica de un vector.

Un vector se representa por unalínea orientada, la cual indica la dirección, y por una flecha, la cual indica su sentido. La longitud de la línea es proporcional a la magnitud del vector. Si deseamos representar un vector de magnitud 4 [km] Norte 30 Este:
N
N

30
30




O
O
E
E
1 [km]
1 [km]

ESCALA:


S
S



Tamaño, norma, módulo o magnitud de un vector: Si representa un vector,su tamaño, norma, módulo o magnitud se designa como: | | = A.

Descomposición en un Sistema de Ejes Cartesianos
a+b=(axi+ay j+ azk)+(bxi+by j+ bzk)=(ax+bx)i +(ay +by)j+(az+bz) k

Vectores unitarios y componentes de un vector
Cualquier vector puede ser considerado como resultado de la suma de tres vectores, cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes coordenados.
r = rx + ry...