Calculo Vectorial

CALCULO VECTORIAL .



ÍNDICE GENERAL

Introducción
1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO
1.1. El espacio vectorial Rn . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Subespacios de Rn . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Producto punto y ortogonalidad . . . . . . . . .
1.4. Transformaciones lineales y matrices . . . . . .
1.5. Producto vectorial, rectas y planos. . . . . . . .
1.6. Super…cies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Coordenadas cilindricas y coordenadas esfericas
1.8. Conceptos básicos de topologia en Rn . . . . . .
2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
2.1. Funciones de variable real y valor vectorial
2.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Campos escalares . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Geometría de campos escalares. . . . . . .2.5. Funciones vectoriales . . . . . . . . . . . .
2.6. Limites y continuidad . . . . . . . . . . . .
2.7. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . .
2.8. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . .
3. DIFERENCIABILIDAD
3.1. La diferencial . . . . . . . .
3.2. Gradiente . . . . . . . . . .
3.3. Regla de la cadena . . . . .
3.4. Funciones implicitas . . . .
3.5. Máximos ymínimos . . . . .
3.6. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV 4. INTEGRALES MULTIPLES
4.1. Integrales dobles sobre rectángulos. . . . . .
4.2. Integral doble sobre regiones generales . . .
4.3. Cambio de coordenadas en integrales dobles.
4.4. Aplicaciones de las integrales dobles. . . . .
4.5. Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . .4.6. Cambio de coordenadas en integrales triples
4.7. Aplicaciones de las integrales triples . . . . .


5. INTEGRALES DE LINEA
5.1. Integral de línea de campos escalares . . . . . .
5.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Integral de lìnea de campos vectoriales. . . . . .
5.4. Trabajo y circulación. . . . . . . . . . . .
5.5. Teorema fundamental del cálculo paraintegrales
5.6. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . .
6. INTEGRALES DE SUPERFICIE
6.1. Super…cies paramétrizadas y áreas . . . . . . .
6.2. Integrales de super…cie de campos escalares . .
6.3. Integrales de super…cie de campos vectoriales .
6.4. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . .
6.5. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . .

A. Apendice Afterword . .. . .


ÍNDICE GENERAL


INTRODUCCIÓN

CAPÍTULO 1 GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

Es el mejor de los buenos quien sabe que en esta vida todo es cuestión de medida: un poco más, algo menos... A. MACHADO, CXXVI "Proverbios y cantares", XII

CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

En los cursos anteriores de cálculo se consideraron funciones de variable real y valor real, osea funciones de…nidas sobre subconjuntos de la recta real. El cálculo vectorial considera funciones de…nidas en espacios vectoriales euclidianos. Sin embargo muchas aplicaciones prácticas requieren de la rica estructura geométrica del espacio euclidiano. En este capítulo se tratará el espacio euclidiano en detalle, como una condición para poder iniciar un curso básico de cálculo para funciones devarias variables. La belleza y la potencia del álgebra lineal se vera con mayor claridad cuando visualisemos Rn como un espacio vectorial. El estudio de los espacios vectoriales no es tan diferente del estudio de Rn , ya que a partir de la geometria en R2 y R3 podemos visualizar muchos conceptos. Se inicia con los conceptos de punto y vector en Rn , coordenadas, planos coordenados hasta llegar a latopología básica de Rn .

1.1.

El espacio vectorial Rn

El conjunto Rn es la coleción de todas las n-tuplas ordenadas de números reales y esta determinado por Rn = f(x1 ; x2 ; :::; xn )jxi 2 Rg:Recordando que el producto cartesiano de los conjuntos A y B no vacios es por de…nición el conjunto A B de parejas ordenadas (a; b) tales que a 2 A y b 2 B, podemos ver que Rn es el producto...