Calculo vectorial

APUNTES DE CÁLCULO VECTORIAL

Algebra Elemental

Conjunto de los Números Reales.
Los números reales son una colección de números que hemos usado progresivamente con el tiempo y el aprendizaje. En los cursos de aritmética hemos comenzado a usar un subconjunto llamado de los números “naturales”. N={1,2,3,…}. Con ellos aprendimos a realizar operaciones de suma y multiplicación.Posteriormente, al definir la “resta” , nos encontramos con resultados no válidos. Llegó el momento de usar números negativos, aparecieron los “enteros” negativos, z={-1,-2,-3,…}. Después, la división favoreció el uso de los números racionales, Q={½,¾,⅚,…}. Finalmente, a partir del desarrollo de los logaritmos, se comenzaron a usar los irracionales, Q={√2,¶,e,√7} . ahora bien, todos ellos forman unconjunto numérico amplio llamado de” números reales”, R=QUQ.

Operaciones Binarias.
Una operación es binaria cuando sobre un conjunto no vacío S, asocia a cada par ordenado (a,b) de elementos de S un único elemento de S. Se entiende que un par ordenado de objetos a y b se llaman así, cuando uno de ellos se identifica como el primer objeto y el otro como el segundo. Si a es el primer objeto y b elsegundo, el par ordenado se representa por (a,b).
Las operaciones binarias que conocemos son:
|Operación y símbolo |Elementos y nombres(en orden) |Resultado y nombre |
|ADICIÓN (+) |SUMANDOS (a+b) |SUMA (c) |
|SUSTRACCIÓN (-) |MINUENDO- SUSTRAENDO (a-b)|RESTA O DIFERENCIA (d) |
|MULTIPLICACIÓN (×) |FACTORES (a×b) |PRODUCTO(e) |
|DIVISIÓN (÷) |DIVIDENDO Y DIVISOR (a÷b) |COCIENTE (f) |
|POTENCIACIÓN |BASE E ÍNDICE (ab) |POTENCIA(N)|
|RADICACIÓN (√) |RADICANDO E ÍNDICE (b√a) |RAIZ(N) |
|LOGARITMIZACIÓN |BASE Y NÚMERO (logaN) |LOGARITMO(x) |

Cuando la operación sobre una pareja ordenada asocia a un elemento del mismo conjunto donde se aplica, se dice que la operación es cerrada sobre eseconjunto. Por ejemplo, en el conjunto de números naturales impares, la suma no es cerrada, ya que su resultado es un número par. Particularmente, la suma y la multiplicación son cerradas sobre los números reales, la suma o multiplicación de cualquier par de números reales, da como resultado otro número real.

Propiedades de la Igualdad.
Una igualdad es una relación de equivalencia que se aplica a loselementos de uno o dos conjuntos. Se utiliza el símbolo “=” y cuando se aplica, podemos escribir a=b, lo que significa que a y b representan el mismo elemento de un conjunto o bien, si escribimos a●b=c significará que c tiene el mismo valor que la operación binaria “a●b”.
Las propiedades que definen a la igualdad son:
a) REFLEXIVA- Para cada a, elemento de S, a=a
b) SIMETRÍA- Paracada a y b, elementos de S, si a=b entonces b=a
c) TRANSITIVA- Para cada a,b y c, elementos de S si a=b y b=c entonces a=c
d) DE LA SUSTITUCIÓN- Si se cumple que a●b=c, y si además b=e, entonces también se cumple a●e=c , es decir e puede sustituir a b en cualquier expresión sin modificarla por ello, ya que ambos son equivalentes. Esta propiedad aplica a un elemento soloo bien, a una expresión compleja.
e) ADITIVA Y MULTIPLICATIVA- Para cada a,b y c, elementos de un conjunto S, se cumple que si a=b, entonces también se cumple que a+c=b+c.Del mismo modo a×c=b×c.

Postulados de Orden.
Cuando dos elementos de un conjunto no son iguales, otra forma de compararlos es a partir de una relación de orden, y ésta se aplica principalmente a los conjuntos...