Calculo Vol

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIA
Departamento de Matem´
atica y Ciencia de la Computaci´
on

´
CALCULO
Segunda Versi´
on

Integraci´
on y Series

Tomo II

Gladys Bobadilla A. y Rafael Labarca B.

Santiago de Chile
2004

Prefacio
El cero es el silencio antes del n´
umero
El n´
umero es el verbo matem´atico
Lo matem´atico es el c´alculo de la realidad
La realidad es lo u
´nicoincre´ıble
Lo incre´ıble es lo que no podemos
Y lo que no podemos es lo que queremos.
Patricio Manns.
Este texto es producto - en elaboraci´on a´
un - del proyecto de desarrollo de la docencia
Texto de c´
alculo anual para ingenier´ıa civil, financiado por la Vicerrector´ıa de Docencia y Extensi´on de la Universidad de Santiago de Chile.
Gran parte de los contenidos de los cap´ıtulos 1 y 2 est´ansacados del antiguo texto de
C´alculo I escrito por Gladys Bobadilla y Jorge Billeke (Q.E.P.D.).
La idea motriz de los autores para emprender esta tarea es el profundo convencimiento
que ´esta es una forma de contribuir a una cultura nacional independiente.
Aunque los temas tratados - generados en Europa entre los siglos 17 y 19 - forman
parte del patrimonio universal y existe una amplia yvariada literatura, no es una raz´on
suficiente para que la universidad renuncie a crear su propio material docente. Esta labor
es tan importante como la creaci´on de nuevos conocimientos y necesita, como esta u
´ltima,
de una tradici´on para la cual se debe recorrer un largo camino de errores y rectificaciones.
Adem´as, queremos compartir con los j´ovenes estudiantes que usar´an este libro, lareflexi´on del fil´osofo Gast´on Bachelard (1884 - 1962) sobre lo que significa enfrentarse
al conocimiento cient´ıfico: ”Frente al misterio de lo real el alma no puede, por decreto,
tornarse ingenua. Es entonces imposible hacer, de golpe, tabla rasa de los conocimientos
usuales. Frente a lo real, lo que cree saberse claramente ofusca lo que debiera saberse.
Cuando se presenta ante la cultura cient´ıfica,el esp´ıritu jam´as es joven. Hasta es muy
i

viejo, pues tiene la edad de sus prejuicios. Tener acceso a la ciencia es rejuvenecerse espiritualmente, es aceptar una mutaci´on brusca que ha de contradecir a un pasado.”1
Agradecemos los valiosos comentarios de la Dra. Cecilia Yarur, la profesora Graciela
Escalona y el se˜
nor Luis Riquelme que nos ayudaron a mejorar la presentaci´
on de estetexto. Agradecemos adem´as, el apoyo t´ecnico en la escritura digital, de la se˜
norita Evelyn
Aguilar y el se˜
nor Leonelo Iturriaga.
Finalmente, siendo ´esta una versi´on preliminar, agradeceremos a quienes detecten errores nos lo hagan saber.

Gladys Bobadilla A y Rafael Labarca B.
Santiago, marzo de 2002.

1

Gast´
on Bachelard: La formaci´
on del esp´ıritu cient´ıfico. Ed. Siglo XXI, 1997.´Indice general
1. L´ımites y continuidad
1.1. Los n´
umeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. La aritm´etica de los n´
umeros reales: axiomas de cuerpo . . . .
1.1.2. Comparaci´on de los n´
umeros reales: axiomas de orden . . . . .
1.1.3. Resoluci´on de desigualdades o inecuaciones . . . . . . . . . . .
1.1.4. Una distancia en R: el valor absoluto . . . . . . . . .. . . . . .
1.1.5. La continuidad de R: el axioma del supremo . . . . . . . . . . .
1.2. L´ımites de funciones num´ericas de variable discreta. . . . . . . . . . .
1.2.1. Las variables discretas y el conjunto N . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Convergencia de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Divergencia de sucesiones hacia ±∞ . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4.Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Las funciones num´ericas de variable continua . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Definiciones b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Representaci´on gr´afica de funciones . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3. Ejercicios...