Calculo I -- Certamen 1 USM

Informáticos 09 Resumen Contenidos Certamen 1 MAT021
USM Campus Santiago
Potencias

Cálculo
Números Reales
Axiomas de Cuerpo
Existe el conjunto de los números reales (ℝ) en el cual
se tienen2 operaciones algebraicas, la suma (൅) y la
multiplicación (·); que cumplen:
(1) Clausura de la suma
ܽ, ܾ ‫ א‬ℝ ֜ ܽ ൅ ܾ ‫ א‬ℝ

(2) Asociatividad
ሺܽ ൅ ܾሻ ൅ ܿ ൌ ܽ ൅ ሺܾ ൅ ܿሻ

(3) Conmutatividadܽ൅ܾ ൌ ܾ൅ܽ

(4) Existe neutro aditivo
‫ א 0 ׌‬ℝ ‫ א ܽ׊‬ℝ: 0 ൅ ܽ ൌ ܽ

(5) Inverso aditivo
‫ א ܽ׊‬ℝ ‫ א ܾ ׌‬ℝ:

ܽ൅ܾ ൌ 0

(6) Clausura del producto
ܽ, ܾ ‫ א‬ℝ ֜ ܽ · ܾ ‫ א‬ℝ
(7) Asociatividadሺܽ · ܾሻܿ ൌ ܽሺܾ · ܿሻ

(8) Conmutatividad

‫ א ܿ ,ܾ ,ܽ׊‬ℝ

ܽ·ܾ ൌܾ·ܽ

(9) Existe neutro multiplicativo
‫א 1׌‬ℝ
‫ א ܽ׊‬ℝ:

(10) Inverso multiplicativo
‫ א ܽ׊‬ℝ െ ሼ0ሽ ‫ א ܾ׌‬ℝ:http://www.informaticosusm.uni.cc

Se cumple:
(i) ܽ௡ · ܽ௠ ൌ ܽ௡ା௠
(ii) ሺܽ · ܾሻ௡ ൌ ܽ௡ · ܾ ௡
(iii) ሺܽ௡ ሻ௠ ൌ ܽ௡௠ ൌ ܽ௡ · ܽ௡ · ܽ௡ · … · ܽ௡ ሺ݉ ‫ݏ݁ܿ݁ݒ‬ሻ
(iv) ሺܽିଵ ሻିଵ ൌ ܽ
௔ ௡

௔೙

(v) ቀ௕ ቁ ൌ ௕೙ ൌ ܽ௡ ܾ ି௡(vi)

௔೙
௔೘

ൌ ܽ௡ି௠

Definición:
sea ܽ ‫ א‬ℝା , llamamos raíz cuadrada de ܽ a aquel
଴
número real positivo ܼ tal que ܼ ଶ ൌ ܽ :
Notación:
√ܽ ൌ ܼ si ܼ es positivo y ܼ ଶ ൌ ܽ
Definición:
Seaܽ ‫ א‬ℝ y ݊ ‫ א‬Գ, se define:

1·ܽ ൌܽ
ܽ·ܾ ൌ1

ଵ

√ܽ ൌ ܽ ௡

೙

(11) Distributividad
ܽሺܾ ൅ ܿሻ ൌ ܾܽ ൅ ܽܿ
Observaciones
(i) 0 · ܽ ൌ 0 ‫ א ܽ׊‬ℝ
(ii) ሺെ1ሻ · ܽ ൌ െܽ
(iii) 0 y 1 son únicos.(iv) los inversos son únicos.
(v) – ሺെܽሻ ൌ ܽ

Definición:
Sea ܽ ‫ א‬ℝ y ݊ ‫ א‬Գ, se define
ܽ଴ ൌ 1
ܽ௡ ൌ ܽ · ܽ · ܽ · … · ܽ ሺ݊ ‫ݏ݁ܿ݁ݒ‬ሻ
Definición:
Sea ܽ ‫ א‬ℝ y ݊ ‫ א‬Գ, se definen:
1
ܽ ି௡ ൌሺܽିଵ ሻ௡ ൌ ௡
ܽ

Generalizando:
௣
ܽ௤

ൌ

ଵ ௣
௤ቇ
ቆܽ

‫ א ݍ ,݌‬Գ; ‫0 ് ݍ‬

Productos notables
ሺܽ േ ܾሻଶ ൌ ܽଶ േ 2ܾܽ ൅ ܾ ଶ
ሺܽ േ ܾሻଷ ൌ ܽଷ േ 3ܽଶ ܾ ൅ 3ܾܽ ଶ േ ܾ ଷ
ሺܽ ൅ ܾሻሺܽ െ ܾሻ ൌ ܽଶ െ ܾ ଶ
ܽଷ െ ܾଷ ൌ ሺܽ െ ܾሻሺܽଶ ൅ ܾܽ ൅ ܾ ଷ ሻ
ܽଷ ൅ ܾ ଷ ൌ ሺܽ ൅ ܾሻሺܽଶ െ ܾܽ ൅ ܾ ଷ ሻ

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Axiomas de orden

(viii)

Existe...