calculo I

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Primer Semestre 2015
Programa Talento e Inclusi´
on - Ejercicios MAT210E

1. Considere las funciones f (x) = x2 − 1 y g(x) =

2x
si x > 0
x + 2 si x ≤ 0

a) Encuentre (g ◦ f )(x), indicando su dominio y recorrido
b) Determine la paridad de la funci´on en a)
c) Grafique
2. Sea f : A → B una funci´on tal quef (x) =

2x − 1
x+2

a) Determine el m´aximo dominio A de f
b) Determine B de manera que f sea epiyectiva
c) Encuentre f −1 (x)
3. Una funci´on g se halla definida en [0, ∞[ por medio de la expresi´on g(x) =
a) Determine si g es creciente o decreciente en [0, ∞[
b) Decida si g es acotada
c) Defina g(x) para x negativo de modo que la funci´on sea par
d) Encuentre el dominio y el recorrido de g(x)e) Esboce el gr´afico de g(x)
4. Sea f : [−2, 2] → [−5, 5] una funci´on sobreyectiva e impar tal que
f (x) =

2x
si 0 ≤ x < 1
2
x + 1 si 1 ≤ x ≤ 2

a) Grafique la funci´on en [-2,2]
b) Demuestre que f es inyectiva en [-2,2] y determine la inversa de f
c) Determine f −1 ◦ g, donde g(x) = 2x
5. Dada la funci´on h(x) =

[x]
+ x. Grafique h(x), −h(x), h(−x), |h(−x)|
2
1

x−1
x+1

6. Dadas lasfunciones g(x) = 2x + 1 y (f ◦ g)(x) = 4x2 + 4x + 7, determine f (x)
7. Si f (x) =

2
2x2 + 2
y (f ◦ g)(x) = 2
, hallar g(x).
x+3
3x + x + 3

8. Dadas las funciones f (x) =

|x − 1| − 2 si x ≤ 4
y g(x) = |2x + 1|.
(x − 5)2
si x > 4

a) Encuentre todos los valores de x ∈ R para los cuales f (x) > 9
f (x) − f (4)
x→4
x−4
c) Calcule l´ım3 (f ◦ g)(x)

b) Determine si existe l´ım
x→ 2

d) Calcule l´ım1

x→−2

g(x)
x + 12

9. Dadas las funciones f y g definidas por f (x) = x − 2 y g(x) = x2 + x, calcule
(f ◦ g)(x − 1)
x→2
(g ◦ f )(x)
l´ım

10. Sabiendo que l´ım f (x) = 2 Calcule:
x→3

a) l´ım (2f (x) − 4)
x→3

b) l´ım (f (x))2
x→3

c) l´ım f (x2 − 1)
x→2

d) l´ım f (2x − 5)
x→4

e) l´ım f (x3 + x + 1)
x→1

11. Calcule los siguientes l´ımites:
√
2x − 2 x
a) l´ım
x→1
1−x
√
x−1−1
b) l´ım √
x→2
x+2−2
xx→0 2 + sen

c) l´ım

d) l´ımπ
x→ 3

e) l´ımπ
x→ 4

cos x + π4
tan(x) − 1

sen
f) l´ım
x→π sen2

x
2
x
2

+ cos(x)
+ cos(x)

2x2 cos( x1 ) sen(3x) + sen(2x)
−
x→0
sen(10x)
x
√
√
x+1− x
√
h) l´ım √
x→0
x+2− x+1
g) l´ım

1
x

tan(3x − π)
x − π3
2

i) l´ım x
x→0

√

1
x

4x2 + 5x + 6 −
j) l´ım
x→∞
x
2
|x − 9x + 20|
k) l´ım+
x→4
x−4
l) l´ım x
x→∞

3

8+

√
x2 − 2x + 5

1
−2
x

x − sen(x)
x→0 x + sen(x)w) l´ım

20

x−1
√
x→1
x−1
1
p) l´ım
sen(5x)
x→∞ 5x
x→∞

12.
13.
14.

15.

16.

x→0

1 − sen(x)
x→ 2
cos(x)
m
x −1
t) l´ım n
x→0 x − 1
√
n
1+x−1
u) l´ım
x→0
x
√
2 − 1 − cos(x)
v) l´ım
x→0
(sen(x))2

1−

cos(x)
x→0
x2
x sen(x)
y) l´ım
x→0 2 − 2 cos(x)

o) l´ım

4+

r) l´ım

s) l´ımπ

√
4 − x + 15
m) l´ım
x→1
x2 − 1
(2x − 3)20 (3x + 2)30
n) l´ım
x→∞
(2x + 1)50

q) l´ım x

1
x
sen(x)

x3 sen

x)l´ım

3
−2
x

sen(1/x)
x→0
1/x

z) l´ım

3x3 + 2x2 − 1
Calcule l´ım
x→∞ 4x3 − 5x2 + 7x + 1
√
6 + x2
. Calcule l´ım+ f (x), l´ım f (x)
Sea f (x) =
x→−∞
x→0
x−3
√
1 + 5x6
. Calcule l´ım− f (x), l´ım f (x)
Sea f (x) =
x→−∞
x→0
x3

 x−1 x<3
5
x = 3 , es cierto que l´ım f (x) = 5?
Sea f (x) =
x→3

2x − 4 x > 3

1


si x ≥ 3
x
Considere la funci´on f definida por f (x) =
3−x


si x > 3
9 − x2Determine si l´ım f (x) existe y calculelo en caso exista.
x→3

17. Sea f (x) = [x] + [−x], demuestre que l´ım f (x) existe, pero no es igual a f (2).
x→2

3

|x − 2|
x→2 x − 2

18. Determine si existe l´ım

19. Suponiendo que l´ım f (x) = 0, demuestre que l´ım f (x)
x→3

x→3

x−3
=0
|x − 3|

20. Sea f (x) una funci´on tal que en [-1,1] se cumple que |f (x)| ≤ | arctan(x)|.
¿Puede ocurrir que l´ım xf (x)= 5?
x→0

21. Sea g una funci´on continua en x = −1, con g(−1) = 0. Se define f (x) = |x + 1|g(x).
f (x)
Analice la existencia de l´ım
x→−1 x + 1

√
 x− 3x
si x ≥ 1
22. Sea f (x) =
, determine a de modo que l´ım f (x) exista.
x
−
1
x→1

a
si x < 1



 x sen

1
si x > 0
x
23. Sea f (x) =
, determine a de modo que l´ım f (x) exista.
a sen( π2 − x)
x→0


si x ≤ 0

π
−x
2
x2 − |x − a|...