Calculo

Dado un prisma de base cuadrada de arista a=2 basado en el plano xOy, y limitado por el plano 2x + y + z = 4, y dado un campo A = (z2, x2, y2), calcular 0. graficar el cuerpo y el campo dados. 1.elflujo del campo A a través de toda la superficie del prisma.

V = {( x, y,z) : 0 ≤ z ≤ 4 − 2x − y} S1 = {( x, y,z) : 2x + y + z = 4;0 ≤ z ≤ 4 − 2x − y} S2 = {( x, y,z) : z = 0;0 ≤ y ≤ 2,0 ≤ x ≤ 2} D= {( x, y ) : 0 ≤ y ≤ 2,0 ≤ x ≤ 2}
Utilizaremos OSTROGRADSKI

€

 A = (z 2 , x 2, y 2 )  divA = 0 + 0 + 0 = 0
El flujo a través de toda la superficie es 0

€

2. el flujo del campo A através de la superficie superior del prisma. Utilizaremos la siguiente expresión

∫∫
S

 Aη∂S =

∫∫
D

 A∇F ∂x∂y ∂F ∂z

Donde

z = 4 − 2x − y

€
F ( x, y,z) : 2x + y + z = 4  € ∇F =(2,1,1) ∂F =1 ∂z
Entonces

€

∫∫ (z , x , y )(2,1,1)∂x∂y
2 2 2 D

∫∫ [2z
D

2

+ x 2 + y 2 ]∂x∂y

€

donde

z = 4 − 2x − y

z 2 = ( 4 − 2x − y )( 4 − 2x − y )
2 2 = € 16 − 8x − 4y − 8x + 4 x + 2xy − 4 y + 2xy + y

= 4 x 2 + y 2 −16x − 8y + 4 xy +16
Luego

€

∫∫ [8x
D 2

2

+ 2y 2 − 32x −16y + 8xy + 32 + x 2 + y 2 ]∂x∂y

⎡ 2 2 ⎤ ∫ ⎢ ∫ 9x + 3y 2 − 32x −16y +8xy + 32∂y ⎥∂x ⎦ 0 ⎣ 0
2

∫ [9x
0 2 0

2

y + y 3 − 32xy − 8y 2 + 4 xy 2 + 32y ] 0∂x
2

2

∫ [18x 2 + 8 − 64 x − 32 +16x + 64] =

∫ (18x
0

2

− 48x + 40)∂x

[6x
€

3

−24 x 2 + 40x ] 0 = 48 − 96 + 80 = 32

2

3. el flujo del campo A a través de las caras laterales del prisma. En esta parte calcularemos lel flujo en la superficie inferior del prisma

∫∫
S

Aη∂S =

∫∫
D

 A∇F ∂x∂y ∂F ∂z

F ( x, y,z) : z = 0  ∇F = (0,0,1)
Entonces

€

∫∫ (z , x , y )(0,0,1)∂x∂y = ∫∫ y ∂x∂y
2 2 2 2 D D 2

∫ ⎢ ∫ y ∂y ⎥∂x = ∫ ⎜ 3 ⎟ ∂x ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
2 0 00 0

⎡

2

⎤

2

⎛ y ⎞

3 2

8 8 16 ∫ ∂x = 3 × 2 = 3 30
Por ser la cara inferior:

2

−

€

16 3

€

Entonces el flujo a través de las caras laterals sera:

⎛ 16...