Calculo

Integración por fracciones parciales

IX
INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES

Áreas 1, 2 y 3

La integración por fracciones parciales es más un truco o recurso algebraico que algo nuevo que vaya a introducirse en el curso de Cálculo Integral. Es decir, en realidad en este tema no va a aprenderse nada nuevo de Cálculo Integral, simplemente se va a echar mano del Álgebra y luego aplicartécnicas que ya se estudiaron en otros capítulos. El tema de fracciones parciales en Álgebra se refiere a desumar 1 una fracción, es decir a deshacer una suma de fracciones; en otras palabras, se trata de encontrar la suma de qué fracciones da como resultado la fracción dada. Por ejemplo, realizar la suma de fracciones

3 2 + x x +1

La palabra “desumar” no existe en el idioma Español. Aquí se hacompuesto esa palabra en base a las etimologías que rigen al idioma. El prefijo des que denota negación o inversión del significado y el verbo sumar. Es decir, se pretende dar a entender lo inverso a la realización de la suma, no como operación inversa (que eso es la resta), sino como inverso de algo que se hace y luego se deshace.

1

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Integración por fracciones parciales

consisteen el procedimiento conocido de sacar común denominador:

3 ( x + 1) + 2 ( x ) 3 2 + = x x +1 x ( x + 1)
= 3x + 3 + 2 x x ( x + 1) 5x + 3 x2 + x

=

Cuando se ha introducido el término desumar , se ha pretendido hacer alusión al hecho de recorrer el proceso anterior ahora de atrás hacia adelante, es decir, a partir del resultado llegar a las dos fracciones originales. Equivale a preguntar:¿La suma de qué fracciones dan como resultado

5x + 3 ? x2 + x

La teoría de las fracciones parciales se divide en cuatro casos, atendiendo a los factores que aparezcan en el denominador original, los cuales se pueden clasificar en dos formas:

POR EL GRADO

POR REPETICIÓN

⎧1er caso factores de 1 grado ⎨ ⎩ 2º caso
er

⎧1er caso ⎪ factores no repetidos ⎨ er ⎪3 caso ⎩
⎧ 2º caso factoresrepetidos ⎨ ⎩ 4º caso

⎧3er caso factores de 2º grado ⎨ ⎩ 4º caso

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Integración por fracciones parciales

Lo anterior da por entendido que el denominador original debe estar factorizado para poderse clasificar en el caso que le corresponda, o lo que es lo mismo, los casos atienden a los factores que aparezcan en el denominador. CASO 1: Se tienen en el denominador factores lineales norepetidos.

Solución: A cada factor lineal de la forma mx + n que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma donde A es una constante a determinar.

A , mx + n

Ejemplo 1: Descomponer en fracciones parciales

5x + 3 x2 + x

Solución: Descomponer en fracciones parciales significa encontrar la suma de fracciones que den por resultado la fracción anterior.Lo primero que debe hacerse es factorizar el denominador:

5x + 3 5x + 3 = 2 x ( x + 1) x +x
Una vez factorizado el denominador, se analizan uno a uno los factores del denominador que aparezcan para ver a cuál caso pertenece cada uno. En este ejemplo, ambos factores son lineales (de primer grado) y no están repetidos, por lo tanto, ambos pertenecen al primer caso. Entonces al factor x deldenominador le corresponde una fracción de la forma una constante A entre x; por su parte, al denominador x + 1 le corresponde una fracción de la forma otra constante B entre x + 1. Esto es

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Integración por fracciones parciales

5x + 3 A B = + x ( x + 1) x x +1

(9.1)

Una vez establecida la suma de fracciones que corresponden a la original, el procedimiento para determinar lasconstantes será el mismo para los casos 1, 2, 3 y 4. Consiste en a) Realizar la suma sacando común denominador:

A ( x + 1) + B ( x ) 5x + 3 = x ( x + 1) x ( x + 1) 5x + 3 Ax + A + Bx = x ( x + 1) x ( x + 1)

b) Como la fracción escrita a la izquierda es igual a la de la derecha y ambas tienen el mismo denominador, esto implica que necesariamente sus numeradores son iguales. A partir de este...