Calculo

La derivada de una constante
Según lo que hemos descubierto anteriormente la derivada de una constante es cero. Veamos un ejemplo.
f(x) = 7
f '(x) = 0

La derivada de una potencia entera positiva
Como ya sabemos, la derivada de xn es n xn-1, entonces:
f(x)= x5
f '(x)= 5x4

Pero que sucede con funciones como f(x) = 7x5, aún no podemos derivar la función porque no sabemos cual es la reglapara derivar ese tipo de expresiones.

La derivada de una constante por una función.
Para derivar una constante por una función, es decir cf(x), su derivada es la constante por la derivada de la función, o cf'(x), por ejemplo:
f(x)= 3x5 f '(x)= 3(5x4) = 15x4

La derivada de una suma
Tampoco podemos diferenciar (o derivar) una suma de funciones. La regla para la derivada de una suma es(f+g)'=f'+g', es decir, la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada uno de los términos por separado. Entonces:
f(x)= 2x3 + x f '(x)= 6x2 + 1

La derivada de un producto
Aún no hemos dicho cual es la regla para derivar un producto de funciones, la regla para la derivada de un producto es (fg)'= fg'+f'g. En español esto se interpreta como "la derivada de un producto dedos funciones es la primera, por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera".
f(x)= (4x + 1)(10x2 - 5) f '(x)= 20x(4x + 1) + 4(10x2 - 5)

La derivada de un cociente
Ahora daremos la regla para la derivada de un cociente.

f
f 'g - fg'
[ ]'
= g
g2

Traducción: la derivada de un cociente de dos funciones es (la segunda, por la derivada de la primera, menos laprimera por la derivada de la segunda) entre la segunda al cuadrado.

4x + 1
f(x)
= 10x2 - 5
4(10x2 - 5) - 20x(4x + 1)
f '(x)
=
(10x2 - 5)2

Las derivadas de las funciones trigonométricas
Ahora daremos las fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas.
f(x) = sen(x)

f(x+h) - f(x)

sen(h + x) - sen(x) =
h

h
cos(x)sen(h) + cos(h)sen(x) - sen(x)=

hcos(x)sen(h) + cos(h)sen(x) - sen(x)

f '(x) =
Lim[
] = cos(x)

h 0
h

Ahora daremos el resto de las fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas.
f(x)= sen(x)
f '(x)= cos(x)
f(x)= cos(x)
f '(x)= -sen(x)
f(x)= tan(x) = sen(x)/cos(x)
f '(x)= sec2(x)
f(x)= cot(x) = cos(x)/sen(x)
f '(x)= -csc2(x)
f(x)= sec(x)
f '(x)= sec(x) tan(x)
f(x)= csc(x)
f '(x)= -[cot(x) csc(x)]
Laregla de la cadena
Las reglas de derivación que hemos definido hasta ahora no permiten encontrar la derivada de una función compuesta como (3x + 5)4, a menos que desarrollemos el binomio y luego se apliquen las reglas ya conocidas. Observa el siguiente ejemplo.
f(x)
=
(3x + 5)2
=
9x2 + 30 x + 25
f '(x)
=
18x + 30
=
6(3x + 5)

f(x) =
(3x + 5)3
=
27x3 + 135x2 + 225x + 125
f '(x)
=81 x2 + 270x + 225
=
9(3x + 5)2

f(x) = (3x + 5)4 =
81x4 + 540x3 + 1350x2 + 1500x + 625
f '(x)
=
324x3 + 1620x2 + 2700x + 1500 = 12(3x + 5)3

f(x) = (3x + 5)5
= 243x5 + 2025x4 + 6750x3 + 11250x2 + 9375x + 3125
f '(x) = 1215x4 + 8100x3 + 20250x2 + 22500x + 9375

= 15 (3x + 5)4

Publicado por catalina garcia hernadez en 14:39 0 comentarios
funcion

FUNCION
Número crítico. Unvalor de x en el que f´(x) = 0 se llama un número critico de la función f. El correspondiente punto (x,f(x)) sobre el gráfico de f se llama un punto critico de ese gráfico.

Definición
Máximo relativo (máximo local). La función f tiene un máximo relativo (o máximo local) en un número c si en algún intervalo (a,b) que incluya a c es para todo x en el dominio de f. Análogamente se define un mínimorelativo (o local) de f.

Definición.
Máximo absoluto. La función f tiene un máximo absoluto (o máximo global) en el número c si para todo x en el dominio de f. Un mínimo global se define de manera análoga.

Nota: Un máximo global es necesariamente local.

Para saber si una función contiene un máximo local o global es necesario no solo conocer los puntos en que la derivada es igual a cero,...