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Páginas: 6 (1323 palabras)
Publicado: 22 de febrero de 2011
Definición
Las cónicasson curvas planas obtenidas mediante la intersección de un cono con un plano. El ángulo que forman el plano y el eje del cono, comparado con el ángulo que forman el eje y la generatriz del cono determina las distintas clases de cónicas. Se clasifican en tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas.
[pic]
Hay varias formas de estudiar las cónicas:
a) Se puedenestudiar como hicieron los griegos, como has visto en las figuras
anteriores, en términos de intersecciones del cono con planos.
b) Se pueden estudiar como casos particulares de ecuaciones de segundo grado con dos variables x e y
Ax2 +B x y +C y2 +Dx+E y +F = 0
c) Sin embargo , es más adecuado estudiarlas como lugares geométricos de puntos que cumplen cierta propiedad geométrica
Lacircunferencia
Definición
Una circunferencia es el lugar geométrico de los P(x, y) que equidistan de un punto fijo C llamado (centro)
d(P,C) = cte = radio
Sea P(x, y) un punto cualquiera verificando d(P,C) = r, siendo r el radio y C(x0, y0) el centro. De la formula de la distancia de dos puntos se tiene
[pic]
Cuando la circunferencia tiene el centro en el origen se tiene la ecuaciónreducida
[pic]
Ecuación vectorial de la circunferencia
La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial:
[pic]
Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que el componente X y el componente Y, al cuadrado y sumados deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como resultadoun cilindro, dejando el parámetro Z libre.
Ecuación en coordenadas polares
[pic]
Ecuación en coordenadas paramétricas
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:
[pic]
Elipse
Una elipse es el lugar geométrico de los P(x, y) cuya suma de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante
Definiciones:
[pic]Observaciones:
i. De hecho, cualquier par de puntos del plano pueden servir como focos de una elipse. Por simplicidad, solo se considerarán inicialmente aquellos casos en los cuales los focos están en el mismo eje (eje x, eje y) y son simétricos uno del otro con respecto al origen (fig.
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Construcción de la Elipse
Existen muchas construcciones geométricas de la elipse, pero en lamayoría de ellas se requiere conocer algunos elementos adicionales (la directriz, la excentricidad, ...etc.) de la elipse que no han sido mencionados hasta ahora. Por esta razón, solo se presentan dos métodos geométricos sencillos para construir la elipse. Construcción 1
Supóngase que en el plano se tienen dos puntos fijos F y F". Se toma una cuerda de longitud 2a (mayor que la distancia entrelos focos). Con la punta P de un lápiz se tensiona la cuerda. Al mover el lápiz manteniendo en todo momento tensionada la cuerda, el punto P describe la elipse pedida.
[pic]
Construcción 2
Supóngase que nos plantean el problema de construir la elipse de ecuación dada por
[pic]
Se procede entonces como sigue:
[pic]
Se traza luego un rayo cualquiera con origen en 0, elcual intercepta a los círculos en los puntos S y N. Por estos puntos, se trazan paralelas a los ejes x e y respectivamente, las cuales se cortan en el punto M(xm, ym).
[pic]
Las leyes de Kepler
En 1609 Johannes Kepler (1571-1620) publica, utilizando las observaciones
de su maestro Tycho Brahe, su obra "Astronomía Nova" en donde enuncia las dos primeras leyes referente a las ´orbitas delos planetas. Posteriormente,
en 1619, Kepler publicaria la tercera.
Primera Ley: Los planetas describen orbitas elípticas en uno de cuyos focos
está el Sol.
Segunda Ley:Las áreas barridas por la recta que une el sol con el planeta
son directamente proporcionales a los tiempos empleados en barrerlas.
Tercera Ley : Los cuadrados de los periodos de revolucion son proporcionales a...
Las cónicasson curvas planas obtenidas mediante la intersección de un cono con un plano. El ángulo que forman el plano y el eje del cono, comparado con el ángulo que forman el eje y la generatriz del cono determina las distintas clases de cónicas. Se clasifican en tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas.
[pic]
Hay varias formas de estudiar las cónicas:
a) Se puedenestudiar como hicieron los griegos, como has visto en las figuras
anteriores, en términos de intersecciones del cono con planos.
b) Se pueden estudiar como casos particulares de ecuaciones de segundo grado con dos variables x e y
Ax2 +B x y +C y2 +Dx+E y +F = 0
c) Sin embargo , es más adecuado estudiarlas como lugares geométricos de puntos que cumplen cierta propiedad geométrica
Lacircunferencia
Definición
Una circunferencia es el lugar geométrico de los P(x, y) que equidistan de un punto fijo C llamado (centro)
d(P,C) = cte = radio
Sea P(x, y) un punto cualquiera verificando d(P,C) = r, siendo r el radio y C(x0, y0) el centro. De la formula de la distancia de dos puntos se tiene
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Cuando la circunferencia tiene el centro en el origen se tiene la ecuaciónreducida
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Ecuación vectorial de la circunferencia
La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial:
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Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que el componente X y el componente Y, al cuadrado y sumados deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como resultadoun cilindro, dejando el parámetro Z libre.
Ecuación en coordenadas polares
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Ecuación en coordenadas paramétricas
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:
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Elipse
Una elipse es el lugar geométrico de los P(x, y) cuya suma de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante
Definiciones:
[pic]Observaciones:
i. De hecho, cualquier par de puntos del plano pueden servir como focos de una elipse. Por simplicidad, solo se considerarán inicialmente aquellos casos en los cuales los focos están en el mismo eje (eje x, eje y) y son simétricos uno del otro con respecto al origen (fig.
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Construcción de la Elipse
Existen muchas construcciones geométricas de la elipse, pero en lamayoría de ellas se requiere conocer algunos elementos adicionales (la directriz, la excentricidad, ...etc.) de la elipse que no han sido mencionados hasta ahora. Por esta razón, solo se presentan dos métodos geométricos sencillos para construir la elipse. Construcción 1
Supóngase que en el plano se tienen dos puntos fijos F y F". Se toma una cuerda de longitud 2a (mayor que la distancia entrelos focos). Con la punta P de un lápiz se tensiona la cuerda. Al mover el lápiz manteniendo en todo momento tensionada la cuerda, el punto P describe la elipse pedida.
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Construcción 2
Supóngase que nos plantean el problema de construir la elipse de ecuación dada por
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Se procede entonces como sigue:
[pic]
Se traza luego un rayo cualquiera con origen en 0, elcual intercepta a los círculos en los puntos S y N. Por estos puntos, se trazan paralelas a los ejes x e y respectivamente, las cuales se cortan en el punto M(xm, ym).
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Las leyes de Kepler
En 1609 Johannes Kepler (1571-1620) publica, utilizando las observaciones
de su maestro Tycho Brahe, su obra "Astronomía Nova" en donde enuncia las dos primeras leyes referente a las ´orbitas delos planetas. Posteriormente,
en 1619, Kepler publicaria la tercera.
Primera Ley: Los planetas describen orbitas elípticas en uno de cuyos focos
está el Sol.
Segunda Ley:Las áreas barridas por la recta que une el sol con el planeta
son directamente proporcionales a los tiempos empleados en barrerlas.
Tercera Ley : Los cuadrados de los periodos de revolucion son proporcionales a...
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