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Publicado: 28 de febrero de 2011
Fórmulas generales
III
FÓRMULAS GENERALES
Las fórmulas vistas en el capítulo anterior fueron muy específicas para integrales de x elevada a cualquier potencia; sin embargo, no siempre, o más bien, pocas veces lo que está elevado a la potencia n es la pura variable x , sino una función completa. Para eso, de manera muy similar a lo que ocurrió con las derivadas, se requieren fórmulasgenerales. Todas las fórmulas que se verán de aquí en adelante son fórmulas generales, es decir en términos de u , no de x. Y algo muy importante: para cada fórmula general debe emplearse un procedimiento llamado cambio de variable, el cual se explicará con detalle en cada uno de los ejemplos siguientes. El estudiante que no sepa, o no aprenda, a hacer cambios de variable para integrar, está condenado ano poder integrar nunca ninguna función.
De manera muy general, los pasos fundamentales en todo cambio de variable son: a) Seleccionar u; b) Una vez hecha la elección de u, calcular inmediatamente después la diferencial de u, es decir, du.
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Fórmulas generales
Todo cambio de variable debe transformar la integral original en una fórmula.
FÓRMULAS GENERALES:
(6)
un +1 ∫ u du= n + 1 + c
n
,
para n ≠ − 1
(7)
∫
du = lnu + c u
La fórmula (6) puede emplearse siempre que n sea diferente de menos uno, ya que si vale menos uno el denominador de la fórmula se vuelve cero y hay que recordar que en matemáticas no se vale dividir entre cero porque da infinito. En caso de que n valga menos uno se obtiene realmente la fórmula (7).
Ejemplo 1: Solución:Integrar
∫ ( 3x − 2 )
7
dx
Obsérvese que lo que está elevado a la séptima potencia no es la variable x , sino el polinomio 3x - 2. Por lo tanto, no puede emplearse la fórmula (2), sino la (6), lo que significa que u debe ser 3x - 2. Si u = 3x - 2, entonces calculando la diferencial de u se obtiene que du = 3dx La fórmula (6) habla de
∫ u du , es decir que no basta tener identificado quées u, sino que
n
pide tener la diferencial de u, o sea, du. En este ejemplo, dicha diferencial du es 3dx, lo que significa que para poder emplear la fórmula (6) debe tenerse en la integral original 3dx. Pero nada más se tiene dx, le falta el 3. Si la integral original se multiplica por 3 se consigue tener 3dx; pero si se hace esto, para que
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Fórmulas generales
siga siendo lo mismodebe dividirse también entre 3. Haciéndolo:
∫ ( 3x − 2 )
7
7 ⎛ 1 ⎞ dx = ∫ ( 3 x − 2 ) ⎜ ⎟ ( 3) dx ⎝ 3⎠
se divide y se multiplica por tres al mismo tiempo
Por la fórmula (3) de la página 8, cualquier constante que esté multiplicando se puede echar afuera de la integral, por lo que la fracción un tercio se echa para afuera, quedando:
∫ ( 3x − 2 )
7
dx =
1 3
∫ ( 3x − 2)
7
3 dx
u
du
En este momento se ha completado el cambio de variable y la integral original convertida en fórmula ya puede escribirse como
∫ ( 3x − 2 )
7
dx =
1 u 7 du 3 ∫
1 ⎡ u7 + 1 ⎤ u8 = ⎢ +c ⎥+c= 3 ⎣ 7 +1 ⎦ 24
Una vez integrado al haber aplicado la fórmula correspondiente, se debe regresar a la variable original, sustituyendo u por lo que vale. En este caso,recordar que u = 3x - 2:
17
Fórmulas generales
∫ ( 3x − 2 )
7
dx =
( 3x − 2 )
24
8
+c
Ejemplo 2: Solución:
Integrar
∫
11x + 8 dx
Debe escribirse como
∫ (11x + 8)
1/ 2
dx
Obsérvese que lo que está elevado a la potencia un medio no es la variable x , sino el polinomio 11x + 8. Por lo tanto, no puede emplearse la fórmula (2), sino la (6), lo quesignifica que u debe ser 11x + 8. Si u = 11x + 8, entonces calculando la diferencial de u se obtiene que du = 11dx La fórmula (6) habla de
∫ u du , es decir que no basta tener identificado qué es u, sino que
n
pide tener la diferencial de u, o sea, du. En este ejemplo, dicha diferencial du es 11dx, lo que significa que para poder emplear la fórmula (6) debe tenerse en la integral original...
III
FÓRMULAS GENERALES
Las fórmulas vistas en el capítulo anterior fueron muy específicas para integrales de x elevada a cualquier potencia; sin embargo, no siempre, o más bien, pocas veces lo que está elevado a la potencia n es la pura variable x , sino una función completa. Para eso, de manera muy similar a lo que ocurrió con las derivadas, se requieren fórmulasgenerales. Todas las fórmulas que se verán de aquí en adelante son fórmulas generales, es decir en términos de u , no de x. Y algo muy importante: para cada fórmula general debe emplearse un procedimiento llamado cambio de variable, el cual se explicará con detalle en cada uno de los ejemplos siguientes. El estudiante que no sepa, o no aprenda, a hacer cambios de variable para integrar, está condenado ano poder integrar nunca ninguna función.
De manera muy general, los pasos fundamentales en todo cambio de variable son: a) Seleccionar u; b) Una vez hecha la elección de u, calcular inmediatamente después la diferencial de u, es decir, du.
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Fórmulas generales
Todo cambio de variable debe transformar la integral original en una fórmula.
FÓRMULAS GENERALES:
(6)
un +1 ∫ u du= n + 1 + c
n
,
para n ≠ − 1
(7)
∫
du = lnu + c u
La fórmula (6) puede emplearse siempre que n sea diferente de menos uno, ya que si vale menos uno el denominador de la fórmula se vuelve cero y hay que recordar que en matemáticas no se vale dividir entre cero porque da infinito. En caso de que n valga menos uno se obtiene realmente la fórmula (7).
Ejemplo 1: Solución:Integrar
∫ ( 3x − 2 )
7
dx
Obsérvese que lo que está elevado a la séptima potencia no es la variable x , sino el polinomio 3x - 2. Por lo tanto, no puede emplearse la fórmula (2), sino la (6), lo que significa que u debe ser 3x - 2. Si u = 3x - 2, entonces calculando la diferencial de u se obtiene que du = 3dx La fórmula (6) habla de
∫ u du , es decir que no basta tener identificado quées u, sino que
n
pide tener la diferencial de u, o sea, du. En este ejemplo, dicha diferencial du es 3dx, lo que significa que para poder emplear la fórmula (6) debe tenerse en la integral original 3dx. Pero nada más se tiene dx, le falta el 3. Si la integral original se multiplica por 3 se consigue tener 3dx; pero si se hace esto, para que
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Fórmulas generales
siga siendo lo mismodebe dividirse también entre 3. Haciéndolo:
∫ ( 3x − 2 )
7
7 ⎛ 1 ⎞ dx = ∫ ( 3 x − 2 ) ⎜ ⎟ ( 3) dx ⎝ 3⎠
se divide y se multiplica por tres al mismo tiempo
Por la fórmula (3) de la página 8, cualquier constante que esté multiplicando se puede echar afuera de la integral, por lo que la fracción un tercio se echa para afuera, quedando:
∫ ( 3x − 2 )
7
dx =
1 3
∫ ( 3x − 2)
7
3 dx
u
du
En este momento se ha completado el cambio de variable y la integral original convertida en fórmula ya puede escribirse como
∫ ( 3x − 2 )
7
dx =
1 u 7 du 3 ∫
1 ⎡ u7 + 1 ⎤ u8 = ⎢ +c ⎥+c= 3 ⎣ 7 +1 ⎦ 24
Una vez integrado al haber aplicado la fórmula correspondiente, se debe regresar a la variable original, sustituyendo u por lo que vale. En este caso,recordar que u = 3x - 2:
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Fórmulas generales
∫ ( 3x − 2 )
7
dx =
( 3x − 2 )
24
8
+c
Ejemplo 2: Solución:
Integrar
∫
11x + 8 dx
Debe escribirse como
∫ (11x + 8)
1/ 2
dx
Obsérvese que lo que está elevado a la potencia un medio no es la variable x , sino el polinomio 11x + 8. Por lo tanto, no puede emplearse la fórmula (2), sino la (6), lo quesignifica que u debe ser 11x + 8. Si u = 11x + 8, entonces calculando la diferencial de u se obtiene que du = 11dx La fórmula (6) habla de
∫ u du , es decir que no basta tener identificado qué es u, sino que
n
pide tener la diferencial de u, o sea, du. En este ejemplo, dicha diferencial du es 11dx, lo que significa que para poder emplear la fórmula (6) debe tenerse en la integral original...
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