Calculo

Concepto de diferencial
La forma en que hemos abordado el concepto de derivada,  aunque existen varios conceptos, fue el encontrar la relación de la pendiente de la línea recta y´  =f ´(x) que era tangente a la función. Para un punto en particular podemos llegar a la definición de la derivada f '(x) y vimos que f '(x1) es la pendiente de la recta tangente a la curva en x=x1.

 
 Enparticular, para una función y=f(x) para un valor inicial x0  se tiene la pendiente de la línea recta tangente en las coordenadas [x0,f(x0)], dada por la m=f'(x0). Cuya ecuación de la línea recta tangente queda entonces definida como:
y-f(x0)=m(x-x0)
Ante un cambio en la variable x podemos determinar el incremento x0   por x0+dx, donde el incremento  dx  es comúnmente un incremento pequeño, pero nocero, llamado diferencial en x.
Analizando el sistema función y línea recta tangente a dicha función entonces  podemos analizar que existen dos puntos importantes a analizar, los de la función y los de la recta tangente:
 (1) Para referirnos al  cambio que ocurre en el valor de f  designaremos la notación  dy.
 (2) Para referirnos al  cambio que ocurre en el valor de y para la recta tangente utilizaremos la notación dy.
Mas precisa se encuentra la siguiente definición:

Definición de diferencial (informal)
Sea y=f(x) una función derivable en un intervalo abierto que contiene al número x.
 
Se define a la diferencial de x como dx, cualquier número real diferente de cero.

Se define  a la diferencial de y como dy, dado por  dy=f '(x) dx.

Definición de fΔx y f`(x) Δx
Elincremento de x, llamado generalmente "delta x" es igual al llamado "dx", diferencial de x.

Ambos son incrementos arbitrarios de la variable x.

Te agrego esta parte que si no la entiendes la olvides, quédate con lo anterior, aunque mas adelante la entenderás

Cuando "delta x" se hace muy chico, tiende a cero, se lo menciona exclusivamente como "diferencial de x". De lo dicho verás masadelante que una forma de expresar derivada es "dy/dx" y en este caso es equivalente a decir lím "delta y/ delta x" cuando "delta x" tiende a cero.

dy = f'(x).incremento x

Si reemplazamos y por x tenemos:

dx = 1.incrementox

El uno es porque la derivada de x = 1.

Entonces...

dx = incremento x

Interpretación grafica de Dy
Si la función y = f (x) admite derivada finita en un punto, suincremento puede expresarse así:
∆y = f´(x) . ∆x + ω . ∆x
siendo ω un infinitésimo para ∆x →0. Al primer término se lo llama diferencial de y, y se escribe:
dy = f´(x) . ∆x
La diferencial en el punto de una función derivable en ese punto, es el producto de la derivada por el incremento arbitrario de la variable.
En particular, considerada x como función de x, por ser su derivada 1, será: dx= ∆x; luego, es indiferente poner ∆x, o bien d x, siendo por tanto:
dy = y´ dx
es decir que la diferencial de una función es igual al producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente.
Considerando tres variables:
1º.- El incremento ∆x, de la variable independiente, que coincide con su direrencial.
2º.- El incremento ∆y de la función.
3º.- La diferencial dy de lafunción.
Si hacemos una gráfica de una curva con su tangente en el punto P, denominando φ al ángulo que forma dicha tangente con el eje X, RP = ∆x, RT = ∆y, P' al punto de la curva interceptado por la ordenada del punto T, observando en la figura que
RT = PR . tg φ = ∆x. y
resulta la siguiente representación:
dx = ∆x= PR
∆y = RP´
dy = RT
Es decir, la diferencial de una función en un punto es elincremento de la ordenada de la tangente en ese punto.

Reglas de Diferenciación
1)  Derivada  de una constante:                (c) = 0
 2) Derivada  de una potencia:                    xn  = nxn-1     ( n racional)
 3) Regla del múltiplo constante:               c f(x)  = c f ´(x)
 4) Derivada  de una suma o resta :
  f(x)  g(x)  = f ´(x)  g ´(x)

 5) Derivada de un producto:...