Calculo

DERIVACIÓN Y DIFERENCIACION DE FUNCIONES ESCALARES DE VARIABLE VECTORIAL

LIMITE DE UNA FUNCIÓN ESCALAR DE VARIABLE VECTORIAL
La función z=fx,y, se desea saber si existe algún número l al cual se aproximan dos valores de la función cuando sus variables “x” y “y” se aproximan a dos vectores dados x0, y0, y determinar dicho numero.
limx→x0yy0fx,y=l
z=l(x,y)
Lxϵ
1-ϵ

δ
x0, yo
x, y

yz
x

Para las funciones escalares de variable vectorial se harán consideraciones muy semejantes, pero tomando en cuenta que ahora el dominio no es un subconjunto de los números reales si no una región de Rn, siendo n el numero de variables.
Si la función tiene dos variables, el dominio será una región del Plano R2, y si tiene tres una región del espacio R3.

LIMITES REITERADOS
Paracalcular el valor numérico del límite de una función z=f(x,y), se utiliza un procedimiento conocido como limites reiterados, el cual consiste en evaluar por separado y reiteradamente el límite de la función para cada una de las variables independientes.
Ejemplo:
Calcular los límites reiterados de la función.
z=x+y cuando x,y (1,1)
Solución:
PASOS:
- Primero se calcula el límite con respecto a unade las variables considerando a la otra como constante.
- Después se evalúa el límite con respecto a esta otra.
- El límite que se encuentra dentro de los corchetes se obtiene como en el cálculo de una variable independiente.
- Podría ser, evaluar a “y” como constante.
- Si se calcula el limite utilizando el orden contrario, es decir, primero con respecto a “y” tomando a “x” como constante ydespués con respecto a x.
Si los limites reiterados son iguales, implica continuidad ó exista el limite, y no siempre existe los limites.
Ejemplo:
Calcular el siguiente limite reiterado. z=x+y.
Solución:
limy→1 [ limx→1 x+y ]= limy→11+y=1+1=2
lim⁡x→1[ limy→1 x+1 ]= limx→1 x+1=1+1 =2

CONTINUIDAD DE UNA FUNCION ESCALAR

Una función escalar de una variable vectorial () es continua en unconjunto (), de su dominio si se cumple las siguientes tres condiciones.
1.- fx0 existe.
2.- limr→r0f(r)
3.- fr0= limr→r0f(r)

Una función puede presentar discontinuidad no solamente en puntos aislados. Puede ser discontinua, por ejemplo, a lo largo de curvas o de una región completa.

Ejemplo:
limx→1y-2(x2-5xy+6 y2)
Solución:
limy→-2 [ limx→1 (x2-5xy+ 6y2)]=
=(1)2- 51y+6y2=limy→-2(-5y+6y2)
= 1+80+24=35
limx→1[ limy→-2x2-5xy+6y2]= limy→-2x2- 5x-2+ 6(-2)2 =35

Ejemplo:
Calcular el valor del siguiente limite.
limx→1y11-x+y
Solución:
limy→1[ limx→1(4-x+y )]=limy→14-1+y= 4-1+1 = 4 = 2
limx→1[ limy→1(4-x+y )]=limx→14-x+1= 4-1+1 = 4 = 2

x=-3;y= -3-4= -7 |
x=-2;y=-2-4=-6 |
x=-1;y=-1-4=-5 |
x=0;y=0-4=-4 |
x=1;y=1-4=-3 |
x=2;y=2-4=-2 |
x=3;y=3-4=-1 |x | y |
-3 | -7 |
-2 | -6 |
-1 | -5 |
0 | -4 |
1 | -3 |
2 | -2 |
3 | -1 |


4-x+y ≥0
y ≥x-4


y
- y
x
-x
y≥x-4


DERIVADA DIRECCIONAL
Considérese unafunción z=f(x,y) con dominio D, un punto P0=x0, yo=D y un vector unitario V en el plano xy que se apoya en Po. Lo que se desea determinar es como varia la altura () de la superficie en el punto x0, yo en la dirección del vector V.
A la razón de cambio se le conoce como derivada direccional de z=f(x,y) en Po en la dirección V.
En la figura del plano vectorial está definida por la dirección de Vcorta a la superficie con la curva C, y como esta es una curva plana, la razón de cambio de z, es decir, la derivada direccional se puede calcular. Entonces la derivada direccional es la pendiente de la recta tangente a la curva C en el punto (x0, y0, zo).
La dirección positiva a lo largo de C será la del vector V.
Cuando la dirección de V es paralela a uno de los ejes coordenados, se tiene 2...