Calculo

En este trabajo se extiende el concepto de la integral de una función real de variable real a funciones de varias variables, comenzando con integrales de funciones de dos variables. La integral doble tiene su significado intrínseco en el volumen, así como el significado de una integral de una función de variable real es el área.
Como referencia para la definición de la integral doble, se deberecordar la integral definida de una función real de variable real, como mencionamos anteriormente este se basa en el cálculo del área bajo la curva de una función ƒ y esta se realiza a través de una suma de Riemann que corresponde a un valor aproximado del área de la región comprendida bajo la gráfica de la función f , sobre el eje x, y entre las rectas x = a y x = b .
Es decir, sea ƒ unafunción real definida en [a,b] se divide este intervalo cerrado en n sub-intervalos; es decir; se realiza una partición P de [a,b] donde P= {x0, x1, x2,…, xi-1, xi,…, xn-1, xn}. Una suma de Riemann de la función ƒ para la partición P, es un número real obtenido como:
i=1nƒxi* ∆xi

Donde n es el número de sub-intervalos de la partición P, xi*∈ [xi-1, xi] y
Δxi = xi - xi-1 es la longitud delsub-intervalo genérico (también llamado sub-intervalo i-ésimo).

Ahora bien, si tomamos la norma de una partición P, denotada como ΙΙPΙΙ, esta se define como la longitud más grande de todos los sub-intervalos, entonces al hacer que la norma sea lo suficientemente pequeña, esto es ΙΙPΙΙ →0, la partición se hace más fina, y es igual a decir que el número de sub-intervalos de la partición P tiende ainfinito, n → ∞ así obtenemos la integral definida de ƒ de a a b.
abfxdx= limΙpΙ→0i=1nƒxi* ∆xi
Si el límite existe.
De igual forma definimos las integral doble de una función f definida sobre la región rectangular cerrada D, dada por:

D= [a,b] × [c,d] = {(x,y)∈R2 a≤ x ≤b ^ c≤ y ≤d}

Sea P una partición de la región D, la cual se logra con el producto cartesiano de las particiones Px y Pyde los intervalos [a,b] y [c, d], respectivamente, como se muestra a continuación:

Px = {x0, x1, x2,…, xi-1, xi,…, xn-1, xn}.

Py = {y0, y1, y2,…, yj-1, yj,…, ym-1, xm}.

Entonces, P = Px × Py si la partición Px tiene n +1 elementos y n sub-intervalos
[xi-1, xi] de longitud Δxi = xi - xi-1, y la partición Py tiene m+1 elementos y m sub-intervalos [xj-1, xj] de longitud Δyj = yi – yj-1y, entonces la región rectangular D queda dividida por la partición P en n ⋅m rectángulos denominados Di j . Como se muestra en el siguiente grafico:

El sub-rectángulo denotado Dij, es un elemento de la partición P, cuya área, denotada ΔAij se calcula como:
ΔAij = Δxi ⋅ Δyj
Al tomar un punto arbitrario (xi*, yj*) en el sub-rectángulo Dij por lo tanto existen diferentes alternativas para suselección como las más usadas que son:

Esquina inferior izquierda
(xi*, yj*)=(xi-1, yj-1)
Esquina inferior derecha
(xi*, yj*)=(xi, yj-1)
Esquina superior izquierda
(xi*, yj*)=(xi-1, yj)
Esquina superior derecha
(xi*, yj*)=(xi, yj)
Punto medio
xi *, yj *=xi-1+ xi2,yj-1+ yj2

Por lo que se puede establecer la doble suma de Riemann para la función f en la partición P:i=1nj=1mfxi*,yj*∆Aij

Así como la suma de Riemann es una aproximación de la integral definida, la doble suma de Riemann es una aproximación de la integral doble que representa la suma de todos los volúmenes de las columnas, y el resultado es un valor numérico que se obtiene al efectuar la suma del producto de la imagen de la función f en cada punto arbitrario (xi*,yj*) y el área de cada rectángulo Dij.Si se define la norma |ΙPΙΙ de la partición P como la longitud de la diagonal más grande de todos los rectángulos Dij y se hace que |ΙPΙΙ → 0, entonces la partición P se hace más fina, esto es, ahora la región D queda dividida en muchos más rectángulos, y se puede plantear:
lim |ΙPΙΙ → 0 i=1nj=1mfxi*,yj*∆Aij

Definición de la integral doble de f sobre D

Sea f una función real definida...