Calculo

TIPO DE ACTIVIDAD: Ejercicios
Título Actividad: Nombre Asignatura: Semana Nº: Aprendizaje 1 Aplicaciones de continuidad de funciones. Cálculo I 7 Actividad Nº 9 Sigla Lugar

60min.

MAT330 Sala de clases

APRENDIZAJES ESPERADOS: Resuelve problemas de continuidad de funciones.

CONTINUIDAD EN UN PUNTO Una función i) ii)

f

es continua en Existe Existe

a

si cumple las siguientescondiciones:

f (a)
x→a

lim f ( x)
x→a

iii)

lim f ( x) = f (a )
a , diremos que f
es discontinua en

Si

f

no es continua en

a

1. En cada caso, determine si la función f

es continua o discontinua en el valor de x

indicado, mostrando claramente si se cumplen o no las tres condiciones. a) b) c)

f (x ) = 2 − x
f (x ) = x 2 − 4

; en ; en ; en

x=2 x=0 x = −5f (x ) = 1

2.

Considere las siguientes funciones y determine si son continuas o discontinuas, mostrando claramente si se cumplen o no las tres condiciones.

a)

x f ( x) =  2 x

; si x ≤ 0 ; si x > 0

b)

; si x ≤ 1  2 f ( x) =   x − 1 ; si x > 1

Enero 2011 / Programa de Matemática.

1

c)

 2x 2 − 4x   x−2 f ( x) =  1  2x − 4   2x − 2

; si x < 2 ; six = 2 ; si x > 2

d)

 x + 5 ; si x ≤ −1 f ( x) =  2  x − 2 x ; si x > −1

3. Según su gráfica, diga si la función

f es continua o discontinua en el valor de x

indicado, mostrando claramente si se cumplen o no las tres condiciones.

a)

en

x=2

b)

en

x=0

Enero 2011 / Programa de Matemática.

2

c)

en

x = −5

d)

en

x=0

e)

en

x =1

Enero2011 / Programa de Matemática.

3

f)

en

x=2

g)

en

x = −1

4. Una compañía después de realizar un exhaustivo estudio concluyó que la función ingreso total I (x ) , en millones de pesos, al vender x unidades de un producto, es:

 500 x − x 2 ; si 0 < x < 250  10   I ( x) =  25 x ; si 250 ≤ x < 500  25,5 x + 12.250  ; si x ≥ 500  2 
a) ¿La compañía tiene un ingresocontinuo al vender sus productos? b) ¿Cuál será el ingreso si venden 600 unidades? c) ¿Cuántas unidades se deben vender, para que el ingreso sea de 7 mil millones de pesos?
Enero 2011 / Programa de Matemática.

4

5. El gobierno ha anunciado, que para el año 2011, habrá un cambio en la legislación estatal en los impuestos aplicados sobre los ingresos de las personas. Para ello, se creó unacomisión que determinó una función T x , la cual establece que el impuesto exigible

()

sobre

x miles de pesos, de ingresos mensuales, está dado por la siguiente gráfica:

a) ¿Es la función de impuesto una función continua? Fundamente matemáticamente. b) ¿Cuánto impuesto pagarán las personas con ingreso inferior o igual a $498.000? c) ¿Cuánto impuesto pagarán las personas con un ingresode $1.106.000?

6. La empresa tecnológica “Robóticos” está reevaluando su nuevo modelo: “Robot 1.1”, ya que ha presentado algunos problemas en su sensor de movimiento. Cuando debiese desplazarse con rapidez constante, y por una causa aún desconocida, presenta sutiles cambios de velocidad. Después de varios experimentos, se determinó una función d (x ) que entrega la distancia recorrida encentímetros por el robot, en

x segundos:
; si 0 ≤ x ≤ 10

 12 x   2  2 x + 80 x − 1.000 d ( x) =  x − 10   1  2 x + 140 

; si 10 < x ≤ 30 ; si 30 < x ≤ 50

a) ¿Tiene un desplazamiento continuo el robot a los 10 segundos? b) ¿Tiene un desplazamiento continuo el robot a los 30 segundos? c) ¿Cuánto ha recorrido el robot a los 40 segundos? d) ¿Qué tiempo ha transcurrido cuando ladistancia recorrida es de 153 cm?
Enero 2011 / Programa de Matemática.

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SOLUCIONES

1. a) i) ii) iii)

f ( 2) = 0
x→2

(Existe imagen para

x = 2) x → 2)

lim (2 − x) = 0 lim f ( x) = f (2)
x→2

(Existe límite de la función cuando

Respuesta: La función f es continua en

x = 2.

b) i) ii) iii)

f ( 0) = −4
x →0

(Existe imagen para

x = 0) x →0)

lim ( x 2 − 4) =...