Calculo

CÁLCULO INTEGRAL
UNIDAD 1
LA INTEGRAL
1.1 Construcción del concepto de área bajo la curva
1.1.1 Situaciones de áreas de figuras regulares en formas numérica y algebráica.

1.1. Construcción del concepto de área bajo la curva
Una de las principales aplicaciones de la integración es determinar o calcular áreas.
Recordemos el concepto de área.
* ÁREA: Superficie comprendidadentro de un perímetro expresada en unidades de medida de superficie al cuadrado. Superficie, zona, extensión.
* ÁREA LATERAL: Superficie de un cuerpo geométrico excluyendo las bases.
* ÁREA TOTAL: Superficie completa de la figura, es decir, el área lateral más el área de las bases de la figura.
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos degeometría diferencial. Estudiaremos un poco de la historia de este concepto de área bajo la curva.
Historia
La idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada en una figura geométrica proviene de la antigüedad. En el Antiguo Egipto, tras la crecida anual de río Nilo inundando los campos, surge necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecersus límites; para solventar eso, los egipcios inventaron la geometría, según Heródoto.[1]
El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de los triángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por el sabio griego Antifón hacia el año 430 a. C. Hallar el área de una figura curva entraña más dificultad. El método de agotamiento consiste en inscribir y cincunscribirpolígonos en la figura geométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área buscada. Con este sistema, que se conoce como método de exhausción de Eudoxo, consiguió hallar la fórmula para calcular el área de un círculo. Dicho sistema fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver otros problemas similares,[2] así como el cálculo aproximado del número π

EudoxoFue el matemático griego más notable del s. IV a.n.e. No sólo fundó la astronomía matemática, sino que contribuyó decisivamente a la teoría de la proporción y al método de “convergencia” (llamado, de “exhausción”).

Nació en Cnido -en la península hoy de Resadiye, Turquía- en un medio familiar relacionado tal vez con la medicina. Pertenece a la saga de los antiguos sabios viajeros, no siemprefiable a propósito de viajes concretos, pero reveladora de la transmisión y comunicación de conocimientos por el Mediterráneo desde las costas orientales y Egipto hasta la Magna Grecia.
Su trabajo sobre la teoría de la proporción denota una amplia comprensión de los números y permite el tratamiento de las cantidades continuas, no únicamente de los números enteros o números racionales. Cuando estateoría fue resucitada por Tartaglia y otros estudiosos en el siglo XVI, se convirtió en la base de cuantitativas obras de ciencias durante un siglo, hasta que fue sustituida por los métodos algebraicos de Descartes.
Eudoxo demostró que el volumen de una pirámide es la tercera parte del de un prisma de su misma base y altura; y que el volumen de un cono es la tercera parte del de un cilindro de sumisma base y altura, teoremas ya intuidos por Demócrito.[6] Para demostrarlo elaboró el llamado método de exhausción,[7] antecedente del cálculo integral,[2] para calcular áreas y volúmenes. El método fue utilizado magistralmente por Arquímedes. El trabajo de ambos como precursores del cálculo fue únicamente superado en sofisticación y rigor matemático por Newton y Leibniz.
Una curva algebraicalleva su nombre, la kampyle de Eudoxo:

Los repertorios aún registran a su nombre otra obra de geografía matemática y descriptiva en varios volúmenes, Contorno de la tierra, que incluía noticias sobre minerales, plantas y animales.
Aun así, tenemos constancia de algunas contribuciones decisivas de Eudoxo a la astronomía y a la geometría.
Según fuentes fiables, Eudoxo inició la vía de la...