Calculo

Calculo
4.- Aplicación de la Integral
4.1.- Definición de Serie
En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como donde N es elíndice final de la serie.
4.1.1.- Finita
xi = 0 para todo i > n y yi = 0 para todo i > m. En este caso el producto de Cauchy de y se verifica es . Por lo tanto, para series finitas (que son sumasfinitas), la multiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series.

4.1.2.- Infinita
Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos losnúmeros naturales, es decir,.
Ejemplo 1
Sea x(n) = 1 para todo . Entonces C(x,x)(n) = n + 1 para todo por lo tanto el producto de Cauchy y no es convergente.
Ejemplo 2
Para alguna , sea y . EntoncesPor definición y la fórmula binomial. Dado que, formalmente, y , se ha demostrado que . Como el límite del producto de Cauchy de dos series absolutamente convergentes es igual al producto de loslímites de esas series (véase debajo), se ha demostrado por lo tanto la fórmula exp(a + b) = exp(a)exp(b) para todo .

4.2.- Serie numérica y convergencia prueba de la razón (criterio deD’Alembert) y prueba de la raíz (criterio de Cauchy)
Criterio de D’Alembert:
Sea una serie, tal que ak > 0 (serie de términos positivos).
Si existe

Con, el Criterio de D'Alembert establece que:
* siL < 1, la serie converge.
* si L > 1, entonces la serie diverge.
* si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.
En este caso, es necesario probar otro criterio,como el criterio de Raabe.
Criterio de Cauchy:
Sea una serie, tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe
, siendo
Entonces, si:
* L < 1, la serie es convergente.* L > 1 entonces la serie es divergente.
* L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna...