Calculo

LA DIFERENCIAL

DEFINICION
Sea “y” una función derivable la diferencial de “x” denotada por dx es cualquier numero real o nulo. La diferencial de “y” denotado por dy viene dada por:

dy=f ’(x) dx

La diferencial de una función es igual al producto de su derivada por la diferencial da la variable independiente, denotada por la siguiente formula:

(dy/dx)dx

Ejemplo:

y=x2

laderivada de x2=2x

dy/dx=2x

dy=2x(dx)

Ejemplo 2:

y=4x5

la derivada es:
4(5x4)

20x4

dy/dx=20x4

dy=20x4(dx)

INTERPRETACION GRAFICA DE dy

La diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial.

La derivada en el punto es la pendiente de la tangente a la función en el punto.

Vistageométricamente, la elevación se produce verticalmente a partir del punto en que se toma el diferencial. El incremento que se tome representara el alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión.

Reglas de Diferenciación

1) Derivada de una constante: (c) = 0

2) Derivada de una potencia: xn = nxn-1 ( n racional)

3) Regla del múltiplo constante: c f(x) = c f ´(x)

4)Derivada de una suma o resta :
f(x) g(x) = f ´(x) g ´(x)

5) Derivada de un producto:
f(x) g(x) = f(x) g ´(x)+ g(x) f ´(x)

6) Derivada de un cociente:
f(x) / g(x) =

7) Derivadas de funciones trigonométricas:
sen x = cos x
cos x = -sen x
tan x = sec2 x
sec x = sec x tan x
csc x = -csc x cot x
cot x = -csc2 x
8) Regla encadena: Si y = f(u) es una función diferenciable en u y u = f(x) es una función diferenciable en x, entonces:
f ( g(x) ) = f ´(g(x)) g´ (x)
o = •

9) Regla general de las potencias: un = n un-1 u´
( u es una función diferenciable en x y n es un número racional )

Estimación de errores: Un problema característico en ciencias es el siguiente. Un investigador midecierta variable x para obtener un valor x0 con un posible error de magnitud . El valor x0 se usa después para calcular un valor y0 de la variable y que depende de x. El valor de y0 queda supeditado al error de x, pero ¿con que magnitud?. El procedimiento regular consiste en estimar el error por medio de diferenciales. Por ejemplo, un tanque cilíndrico tiene un radio de 5 mts. y una altura de 10 mts. Sedesea pintar la superficie exterior con una capa de pintura de 0.001 mts. de espesor. Hallar: a. La cantidad aproximada dV de pintura que se necesita. b. La cantidad exacta  de pintura que se necesita. c. Hallar el error: .
Solución: Sea x el radio del cilindro en cualquier instante (fig. 9.42.)
 
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fig. 9.42.El volumen viene dado por la función: .
  La diferencial de V en x = 5, seráel valor aproximado: .
será el valor exacto, es decir, 
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CONSTANTE DE INTEGRACION

Precisando la integración es la operación opuesta a la diferenciación. Al encontrar la derivada encontramos la pendiente de la función dada. Cuando integramos encontramos un conjunto de funciones que hacen valida esa derivada, pero como tú sabes al tener varias pendientes es posible desplazarlas arriba oabajo en el plano cartesiano.

                La constante de integración es precisamente ese valor que se agrega a la función que la desplaza en los ejes cartesianos. Por ejemplo la integral de 0 seria esa constante K cuyo valor se determina dados los limites superiores e inferiores de la integral, siendo el conjunto de funciones cuya pendiente sea 0.

La constante de integración (c), se lepone a todas las integrales indefinidas, ya que hay una infinidad de funciones que tienen la misma derivada, puesto que sólo varían en una constante. Por ejemplo:
derivada de x²= 2x
derivada de x² - 17= 2x
derivada de x² + ê= 2x,
y así sucesivamente. Si te das cuenta, las funciones son diferentes, sin embargo tienen la misma derivada; por lo que al integrar las derivadas (diferenciales...