calculo

Instituto Politécnico Nacional

U.P.I.I.C.S.A.

I.  Binomio al cuadrado: 
El desarrollo de la suma de dos cantidades cuadrado es igual, al cuadrado del primer término,
más o menos el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del
segundo, esta regla general se expresa con la expresión:
(a  b)2 = a2  2ab + b2 
A la expresión resultante se le conoce como:trinomio cuadrado perfecto.
Ejemplo 1: 
Desarrolla el siguiente binomio (3m – 2)2
Se efectúa el desarrollo considerando a 3m como primer término y como segundo término a –2
(3m – 2)2 = (3m)2 – 2(3m)(2) + (2)2
= 9m2 – 12m + 4
Por lo tanto, el resultado es: 9m2 – 12m + 4
Ejemplo 2: 
Efectúa el desarrollo de (4y3 + 7w2)2
Si se considera 4y3 como primer término y como segundo término a 7w2
(4y3 +7w2)2 = (4y3)2 + 2(4y3) (7w2) + (7w2)2
= 16y6 + 42y3w2 + 49w4
Entonces, el resultado del desarrollo es: 16y6 + 42y3w2 + 49w4
 

Ejercicios: 
Desarrolla los siguientes binomios al cuadrado:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

(x + 2)2
(2x – 1)2
(y + 8)2
(1 – 3m)2
(11m + 7)2
(4m – 3n)2
(x2 + y)2
(5m2 + n2)2
(y 3 – 1 ) 2

1

x  
2


Precálculo

11.

3

 2x 
4

n

  1
6


2

12.

2

13.

2

1

  x
x


2

15.

1

x 1

14.

2





2
1
 2y 

2y 2







2

Prof.: Miguel Cerón Villegas

Instituto Politécnico Nacional

U.P.I.I.C.S.A.

II.  Binomios conjugados: 

Son de la forma (a + b)(a – b), y su resultado es la diferencia de los cuadrados de ambas
cantidadescomo se ilustra en la expresión:
 (a + b)(a – b) = a2 – b2 
Ejemplo 1: 

Desarrolla (n – 7)(n + 7)
Aplicando el desarrollo se obtiene:
(n – 7)(n + 7) = (n)2 – (7)2 = n2 – 49
Ejemplo 2: 

Efectúa el desarrollo (4x3 + 11)(4x3 – 11)
Desarrollando:
(4x3 + 11)(4x3 – 11) = (4x3)2 – (11)2 = 16x6 – 121
Ejercicios: 

Desarrolla los siguientes binomios conjugados:
1.

(x – y)(x + y)

2.(3x + 1)(3x – 1)

3.

(w – 13)(13 + w)

4.

(6y – 1)(1 + 6y)

5.

(7m2 – 4)(7m2 + 4)

6.

(8 + 13m2)(13m2 – 8)

7.

(8 – 5m4)(8 + 5m4)

8.

( n  5)( n  5)

9.

( x  1)( x  1)

10.

(1  2 y )(1  2 y )

11.

(n2 – xy2)(xy2 + n2)

12.

2 
2

 b   b  
5 
5


13.

 2 1  1
2
 6 k     6 k 
k  k



14.



15. 2 1 3  2 1 3 
 x  y  x  y 
3 
3


4

Precálculo

x 7



4

x 7



2

Prof.: Miguel Cerón Villegas

Instituto Politécnico Nacional

U.P.I.I.C.S.A.

III. Binomios con término común 
 

Son de la forma (x + a)(x + b), su resultado es un trinomio cuyo desarrollo es el cuadrado del
término común, más la suma de los términos no comunes por eltérmino común, más el
producto de los no comunes.
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + ab 
Ejemplo 1: 

Efectúa (x – 5)(x – 3)
Aplicando la fórmula, se obtiene:
(x – 5)(x – 3) = x2 + (– 5 – 3) x + (– 5)(– 3) = x2 – 8x + 15
Ejemplo 2: 

Desarrolla (3x2 + 4)(3x2 – 11)
Aplicando la fórmula, se obtiene:
(3x2 + 4)(3x2 – 11) = (3x2)2 + (4 – 11)(3x2) + (4)(– 11) = 9x4 – 21x – 44
Desarrollar lossiguientes binomios con término común:
1.

(x – 5)(x + 3)

2.

(y + 24)(y – 2)

3.

(m + 12)(m – 3)

4.

(4x + 1)(4x – 7)

5.

(3m + 11)(3m – 10)

6.

(x3 + 7)(5 + x3)

7.

(7n2 – 4)(7n2 – 6)

8.

( y  9)( y  5)

9.

(13 – 2y)(10 – 2y)

10.

w
 w

  8   1
4
4




11.



12.

 3x 2
 3x 2



 15 
5
 5  5 



3

Precálculo

m 3



3

m 2



3

Prof.: Miguel Cerón Villegas

Instituto Politécnico Nacional

U.P.I.I.C.S.A.

III. Binomio al cubo 
 

El desarrollo de un binomio (x  y)3, es equivalente a efectuar el producto de (x  y)(x  y)(x  y)
y se obtiene una expresión como:
(x  y)3 = x3  3(x)2(y) + 3(x)(y)2  (y)3 
Ejemplo 1: 

Efectúa el desarrollo de...