calculo

SEMANA 1
CURSO : CÁLCULO I
Tema

:

Funciones : definición, dominio y rango

F UNCIONES
La clave para el análisis matemático de una situación geométrica
general el reconocimiento de las relaciones entre las variables que
Tal relación puede ser una fórmula que exprese a una variable en
ejemplo, el área A de un círculo de radio r está dada por A   r 2 .
de la superficie S de unaesfera de radio r están dados por
4
V   r3
3

o científica es por lo
describen la situación.
f unción de otra. Por
El volumen V y el área

S  4 r 2

respectivamente.
Definición.- Sean A y B dos conjuntos de números reales. Una función real f de variable
real x es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento x de A un solo valor
f ( x) de B.

La función f de A en B sedenota con y  f ( x) , donde y (variable dependiente) es la
imagen de x (variable independiente).
Dominio.- Es el conjunto formado por los
elementos que tienen imagen

Departamento de Ciencias - Cajamarca 2 013 -1

Dom( f )  {x  A / f ( x) existe}

Facultad de Ingeniería

Rango.- Es el conjunto formado por las
imágenes

Rang ( f )  { y  B / y  f ( x) para x  Dom( f )}Ejemplo 1. En los siguientes diagramas, f es una función y g no lo es.

Con frecuencia, una función queda descrita mediante una fórmula que especifica la forma
de calcular el número f ( x) en términos del número x . El símbolo f ( ) se puede
considerar como una operación a realizar siempre que se inserte un número o expresión
dentro de los paréntesis.
Ejemplo 2. La fórmula
f ( x)  x 2  x  3es la regla de una función f cuyo dominio es toda la recta real R. Algunos valores de f son
f (2)   2   2  3  1
f (0)  3
2

f (4)  4 2  4  3  17

Gráfica de una función.- Si f : R  R es una función, l a gráfica de f es el conjunto de
todos los pares ordenados que pueden representarse en el plano cartesiano.
Simbólicamente:
G( f )  {( x, y) / x  Dom( f )  y  Rang ( f)}

G ráfica de f

R ango de f

Dominio de f

Departamento de Ciencias - Cajamarca 2 013 -1

Facultad de Ingeniería

OBSERVACIÓN: f es una función si y solo si toda recta vertical corta a la gráfica de f en
un solo punto.

Si es función

No es función

FUNCIONES ESPECIALES
FUNCIÓN LINEAL:
Una función de la forma f ( x)  mx  b , para m y b constantes, es llamada una funciónlineal. La figura (a) muestra un arreglo de lineas f ( x)  mx donde b  0 , observar que
estas líneas pasan por el origen. Las funciones constantes resultan cuando la pendiente
m  0 , ver figura (b) .

Figura (a)

Dominio : R
Rango: R

Y cuando m y b son diferentes de cero, se tiene
Dominio :
Rango:

R
R

Departamento de Ciencias - Cajamarca 2 013 -1

Figura (b)

YDominio : R
Rango: b

Y = mx+b

0

X

Facultad de Ingeniería

FUNCIÓN CUADRÁTICA:
A la función f le llamaremos función cuadrática, si su regla de correspondencia es
f ( x)  ax 2  bx  c, a  0 donde

La gráfica de la función cuadrática es una parábola con eje perpendicular al eje X en el cual
se presenta dos casos:



Si a > 0 la gráfica se abre hacia arriba.
Si a < 0 lagráfica se abre hacia abajo.

El dominio de la función cuadrática es R. El rango se determina completando cuadrados
f ( x)  ax 2  bx  c






2
f ( x)  ax  h  k Donde el vértice es (h, k )

Si a > 0 la parábola se abre hacia arriba, entonces el rango es Ran( f )  [k ; 
Si a < 0 la parábola se abre hacia abajo, entonces el rango es Ran( f )  ; k ]

FUNCIÓN RAÍZCUADRADA:
Es la función f : R  R, definida por f ( x)  x
 x  R Se debe cumplir que x  0 , entonces:

Y

y

x

Dominio: [0, 
Rango: [0, 
0

X

CÁLCULO DE DOMINIOS Y RANGOS.
Para calcular el dominio de una función de variable real se escribir la función dada en la
forma y f (x), usar como referentes los dominios de las funciones elementales . Resolver
las inecuaciones que...