Calculo

1. Utilice resultados conocidos sobre Productos Notables para resolver los siguientes ejercicios:
a ) Calcule:
i) (3x +5)2

ii) (xn − 3)(xn +3)

iii) (2z b − 1)(2z b +1)

√
√
√
iv) ( 2 −5)( 2+5) v) (3 6 − 1)2

b ) Muestre que (a − b)3 − (b − a)3 = 2 (a − b)3
c ) Muestre que (a − b)3 + (a − b)3 = 2 (a − b)3
d ) Una terna (x, y, z ) de enteros positivos se denomina terna pitag´ricasi x2 + y 2 = z 2 .
o
Por ejemplo, (3,4,5), (5,12,13), (6,8,10) son ternas pitag´ricas. Pruebe que si a > 1,
o
entonces (2a, a2 − 1, a2 + 1) es una terna pitag´rica.
o
e ) Pruebe que si x, y sonenteros positivos y si x > y , entonces (x2 − y 2 , 2xy, x2 + y 2 )
es una terna pitag´rica.
o
f ) Si t > 0 y (t + t−1 )2 = 5, determine t3 + t−3
g ) Si x + y = 1 y x2 + y 2 = 2, determine x3 + y3
h ) Demuestre que ab =

1
2

(a + b)2 − a2 + b2
c2 + d2 = (ac + bd)2 + (ad − bc)2

i ) Demuestre que a2 + b2
j ) Demuestre que a2 + b2

2

− a2 − b2

2

es un cuadrado perfecto.k ) En el proceso siguiente se ha cometido un error, que conduce al resultado absurdo 5 =
-1. Indique en qu´ ha consistido el error:
e
x2 + 6x + 5 = x2 − 1
(x + 5)(x + 1) = (x + 1)(x − 1)
x+5 =x−1
5 = −1
2. En cada uno de los casos siguientes transforme la expresi´n dada, E (x), en una expresi´n
o
o
2t
1
ξ (t) por medio del cambio de variable t = x . Ejemplo: si E (x) = x21/x , ξ(t) = .
t
2. E (x) = x2 sen(π/x)

1. E (x) = x ln(1/x)
3. E (x) = xe−3x
5. E (x) = 1 +

2

2
x

4. E (x) =
3x

e−1/x
x

6. E (x) = (1 + 3x)2/x

7. E (x) =

(ln x)2
x3

8. E (x)=

9. E (x) =

1/x
e−x

10. E (x) = x3 ln(2x)

1

x3
e3x

3. En cada uno de los casos siguientes lleve la expresi´n algebraica dada a una de las formas
o
h2
k2
b´sicas: ± (x−2 ) ±(y−2 ) = 1, y − k = α(x − h)2 , x − h = β (y − k )2 , y = mx + b.
a
a
b
Identifique, seg´n el caso, el valor de las respectivas constantes: h, k , a, b, α, β , m.
u
y
6

−

5
9

5y
12...