Calculo

Los N´ meros Reales u

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Los N´ meros Reales. u

En este cap´ ıtulo denotaremos por R al conjunto de los N´meros Reales. Parto de la base que todos u entendemos de cuales n´meros se trata y paso a recordar algunas propiedades que para nosotros ser´n u a AXIOMAS. Propiedades Algebraicas de los Reales 1. Los n´meros reales se pueden sumar, restar y multiplicar, obteni´ndose como resultadootro real. u e Tambi´n se pueden dividir. SIEMPRE QUE EL DENOMINADOR SEA DISTINTO DE CERO e !. Por supuesto valen todas las leyes de asociatividad, conmutatividad y distributividad que Ud. tan bien conoce. 2. Los n´meros reales est´n ordenados. Por esto entendemos que si a, b ∈ R se dice que a < b si y u a s´lo s´ b − a es un real positivo. o ı Ejemplo: a) Cu´l es mayor 5,4 o 4,8? a b) Cu´l es mayor5,4 o (5, 4)2 ? a c) Cu´l es mayor -5,4 o -4,8? a Observaci´n: o Hablar un poco sobre la representaci´n de los reales en la recta num´rica. DIBUJO! o e Definici´n 1.1 Si a, b ∈ R definimos los intervalos: o a) (a, b) = {x ∈ R/a < x < b} b) [a, b] = {x ∈ R/a ≤ x ≤ b} c) (a, b] = {x ∈ R/a < x ≤ b}

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El Valor Absoluto.
x −x 1 si si x≥0 . x≤0

Definici´n 2.1 Para cada x ∈ R se define su VALORABSOLUTO, que denotamos por |x|, por o |x| =

Ejercicio:

√ Calcular el valor absoluto de los siguientes nmeros reales: 0; 1; - 2; (16,33-16,34); -316,5.

Ejemplo: Resolver la ecuaci´n |x − 3| = 7. o Soluci´n: o Por resolver una ecuaci´n entendemos encontrar TODOS los valores de la inc´gnita, en este caso x, o o que hacen verdadera la expresi´n. o En este caso particular conviene distinguirdos casos. Caso 1: Si x − 3 ≥ 0. En este caso se tendr´ |x − 3| = x − 3 y por lo tanto debemos resolver x − 3 = 7 a pero exigiendo que la soluci´n sea mayor o igual a 3. Resolviendo tenemos x = 10 que efectivamente es o mayor que 3 y por lo tanto sirve. Caso 2: Si x − 3 ≤ 0. En este caso se tendr´ |x − 3| = −(x − 3) = −x + 3 y por lo tanto debemos a resolver −x + 3 = 7 pero exigiendo que lasoluci´n sea menor o igual a 3. Resolviendo tenemos x = −4 o que efectivamente es menor que 3 y por lo tanto sirve. Luego la respuesta es x = 10 y x = −4. Compru´belo!! e Ejercicio: Resolver a) |y − 2| = √ y + 1.

b) |2 − s| + |s − 7| = 5. Observaci´n: o Si a, b ∈ R el n´mero |a−b| es el largo del intervalo [a, b] o la distancia a lo largo de la recta num´rica u e entre a y b.

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Inecuaciones.En esta secci´n hay poco que decir salvo dar un par de reglas y algunos ejercicios. o Ejercicio: Resolver la inecuaci´n |y − 2| < 7. o Soluci´n: o Por resolver la inecuaci´n entendemos encontrar todos los n´meros reales tales que substituidos en o u lugar de la inc´gnita, en este caso y, hacen la expresi´n verdadera. o o Debemos distinguir dos casos. Caso a: Si y ≥ 2. Entonces |y − 2| = y − 2, porlo tanto, en este caso la inecuaci´n se v´ y − 2 < 7, o o e sea y < 9. Pero recordando que tenemos la hip´tesis y ≥ 2 obtenemos en este caso las soluciones o y ∈ [2, 9). 2

Caso b: Si y ≤ 2. Entonces |y − 2| = −(y − 2), por lo tanto, en este caso la inecuaci´n se v´ −y + 2 < 7, o o e sea y > −5. Pero recordando que tenemos la hip´tesis y ≤ 2 obtenemos en este caso las soluciones o y ∈ (−5, 2].Por lo tanto la respuesta final es y ∈ (−5, 2] ∪ [2, 7) = (−5, 7). Observaci´n: o En general {x ∈ R/|x − a| < r} = (a − r, a + r). Esto se interpreta geom´tricamente en la recta e num´rica como que el conjunto de los puntos que estan a una distancia de a menor que r es el intervalo e abierto de centro a y radio r. Ejercicio: Resolver a) |x − 6| − |x + 3| ≤ 1. √ b) |x − 5| ≥ x + 1. Ejemplo:Estudiaremos ahora la inecuaci´n ax2 + bx + c ≥ 0. o Para esto usaremos el m´todo de completaci´n de cuadrados que Ud. seguramente ya conoce. e o En el caso a = 0 se tiene ax2 + bx + c = b c = a(x2 + x + ) = a a b b2 b2 c = a x2 + x + 2 − 2 + a 4a 4a a b (b2 − 4ac) = a (x + )2 − 2a 4a2 Ahora distinguimos dos casos. Primero si el DISCRIMINANTE, = b2 − 4ac, es menor que 0. Entonces la expresi´n entre o...