calculo

Cap´
ıtulo 13
Integral curvil´
ınea
Campos de vectores y formas diferenciales. Integraci´n curvil´
o
ınea: Independencia
del camino y existencia de funci´n potencial. Teorema de Green. Aplicaciones
o
Para funciones reales de una variable real, toda funci´n continua g : [a, b] → R
o
x
es la derivada de su integral indefinida f (x) = a g(t)dt. Adem´s, si una derivada
a
′
f : [a, b] →R es integrable, la cl´sica f´rmula de Barrow relaciona la integral de f ′
a
o
en el intervalo [a, b] con los valores de f en los extremos del mismo.
En el contexto de las funciones reales de varias variables si una funci´n f es
o
diferenciable en todos los puntos de su dominio, la alternativa a la funci´n derivada es
o
el campo de formas lineales x → df (x) (o el campo de vectores x → ∇f(x)). Ahora
se plantean problemas an´logos a los mencionados en el caso de las funciones de una
a
sola variable: En primer lugar hay que averiguar cuando un campo de formas lineales
(o un campo de vectores) es la diferencial (el gradiente) de alguna funci´n real y en
o
ese caso habr´ que desarrollar mecanismos para calcularla. Los dos planteamientos,
a
el de los campos de formas lineales yel de los campos de vectores conducen a dos
lenguajes distintos para tratar el mismo problema. De momento usaremos el m´s
a
familiar de los campos de vectores.
La integral curvil´
ınea (o integral de l´
ınea) que se estudia con detalle en este
cap´
ıtulo, es la herramienta para calcular, en el caso de que exista, una primitiva de
un campo de vectores, es decir una funci´n real cuyogradiente sea el campo dado.
o
Con ella se obtienen versiones de los teoremas fundamentales del c´lculo an´logos a
a
a
los mencionados al principio. La analog´ consiste en que ahora la integral curvil´
ıa
ınea
tambi´n relaciona los valores de una funci´n en los extremos de un camino con la
e
o
integral curvil´
ınea de su gradiente a lo largo del mismo. Como consecuencia de esto,
cuando sesabe que un campo continuo de vectores es el gradiente de alguna funci´n
o
´sta se puede calcular mediante la integral curvil´
e
ınea del campo de vectores a lo
largo de un camino de origen fijo y extremo variable (una versi´n de la f´rmula
o
o
x
f (x) = a g(t)dt para obtener una primitiva de la funci´n continua g).
o
Por otra parte, el problema de la existencia de primitiva de un campode vectores
no tiene una soluci´n tan directa como en el caso de las funciones de una sola variable.
o
Ahora no se puede asegurar que un campo continuo de vectores sea un gradiente:

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´
´
Lecciones de Analisis Matematico II

G. Vera

Para que un campo de clase C 1 sea un gradiente es necesario que las derivadas
parciales de sus componentes est´n relacionadas por las condicionesque se precisan
e
en 13.13. Estas condiciones no son suficientes para dominios arbitrarios, pero la
integral curvil´
ınea sirve para demostrar que son suficientes para dominios especiales
(los estrellados). Este resultado es muy util en la pr´ctica porque proporciona, para
´
a
este tipo de dominios, una regla sencilla para saber cuando un campo de vectores
de clase C 1 es un gradiente.
Lasegunda parte del cap´
ıtulo est´ dedicada a los aspectos especiales referentes
a
a funciones de dos variables y a campos planos de vectores. En este contexto el
resultado sobre los abiertos estrellados que se acaba de mencionar se extiende a la
clase m´s amplia de los abiertos simplemente conexos del plano. En segundo lugar
a
se demuestra una versi´n elemental del teorema de Green quetiene diversas aplicao
ciones. Este teorema puede considerarse como una generalizaci´n de la cl´sica regla
o
a
de Barrow ya que relaciona una integral doble, en la que intervienen las derivadas
parciales de las componentes del campo, con la integral del campo a lo largo del
borde del dominio de integraci´n.
o

13.1.

Formas diferenciales e integral curvil´
ınea

Una forma diferencial...