Calculo

UNIDAD II
INTEGRAL INDEFINIDA
Es el proceso contrario a la derivación dada una función F(x), se trata de calcular otra F1x=f1x=fx∙x=f(x)
El conjunto formado por todas las funciones primitivas de una función f(x), se denomina integral indefinida integral indefinida de fxdx.
La integral indefinida se representa por:
* fxdx
REGLAS DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
1. La integra del producto deuna constante por una función es igual al producto de la constante por la integral de la función:
c∙fxdx=cf(x)dx
5cosxdx=5∙cosx dx=5sinx+c
cosydx= cosydx=xcosy

2. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de las funciones :
fx+gxdx=fxdx+g(x)dx
Ejemplo:
(sinx+cosx)dx=sinxdx+cosxdx=-cosx + sinx+c
[(cosx dx)+cosx]- cosx dx+cosx=sinx+cosx
3. Laintegral de una diferencia de funciones es igual a la diferencia de las integrales de las funciones minuendo y sustraendo:
fx-gxdx=fxdx-g(x)dx
4. Como consecuencia de las dos propiedades anteriores; la integral de la suma algebraica de las integrales de todas y cada una de las funciones sumadas.
Ejemplo:
x2-x+1dx=x2dx=xdx+dx
x33-x22+x+c

EJERCICIOS
1.-ro
x2+x+2x2dx=[x+1+2x]dx[x2+x+2]dxx dx ≠x dx+dx+2xdx
Respuesta
x22+x+2ln+C

2.-do
x+2x+3dx=x2+3x+2x+6dx=x2+5x+6dx=x2+5x+6
Respuesta:
x33+5x22+6x+C
3.-ro
Resultado x2dx=x33+C
4.-to
1x1∙-x=-x=x-12=x1212=2x121=2x12+C
Resultado
2x


5.-to
x2+3x+1dx=x3+x2+3x+3dx=x3+x2+3x+3
Resultado
x44+x33+3x22+3x

6.-to
ex∙e3xdx=[e3x]dx
Resultado
e3x+C
7.-mox2+x3+x5xx2+xxdx=x4+x3+x5+x4+x7+x6x2dx=[x2+x+x3+x2+x5+x4]dx= x5+x4+x3+2x2+x
Resultado
x66+x55+x44+2x33+x22+C

8.-vo
1x+1+1x+3dx
lnx+1lnx+3=lnx2+3x+x+3
Resultado
lnx2+4x+3+C

9.-no
Resultado x2xdx=x2∙x=x3/2=x5/25/2=2x5/25

10.-mo
[(x2+x)(x)x3]dx=x3+x2x2dx=[x+1x]dx
Resultado x22+lnx+C

11.-vo[2x2+4x+62x]dx=2x2+4x+62(x)1/2dx=22+4x+62x1/2=x3/2+2x1/2+3x=x5/25/2+2x3/23/2+3x-1/2-1/2
resultado
2x5/25+4x3/23-6x+C

INTEGRALES POR EL METODO DE SUSTITUCION

1.-ro
dxx2x=dxx2x=dx2 x3/2=12dxx3/2=12x-3/2dx=12[x-1/2-1/2]
Resultado
-2x-1/22+C
2.-do
u=2-x2 3x32-x2dx
du=-2x 3x3udu-2x du-2x=dx
-3x2x3u du=-323u du=-32u1/3
Resultado
-32 u4343+C=-323u434+C=-9u438+C=-9(2-x2)4/38
3.-ro
x(2+x2)
du=2+x2
u=2x
xu du2x=1u2du=121udu
Resultado
12lnu+C=122+x2+C

4.-to
x4ex5dx
u=x5
du=5x4
x4eudx=x4eudx=du5x4=15eudu
Resultado
15ex5+C

5.-to2
x3(x2+1)8dx=x∙x2(x2+1)8-12dx
u=x2+1
du=2x
x2=1-u
121-u(u)8dx=12 u8-u9du=

Resultado
12∙x2+199-x2-11010+C
x2+1918-x2+11020+C
6.-tox2exdx
u=x
du=1
du=dx
x2udu
Resultado
x33ex+C
7.-mo
x2-3x dx
u=3x
du=3
x2u du
Resultado
x33 3x+C
8.-vo
xe3xdx
u=3x
du=3
xeu
Resultado
x22 e3+C
INTEGRALES POR PARTES
u∙vv dv
ILATE
I=FUNCION INVERSA
L=FUNCION LOGARITMICA
A=FUNCION ALGEBRAICA
T=FUNCIIN TRIGONOMETRICA
E=FUNCION EXPONENCIAL

1.-ro
xcosx dx
u=x
du=1
dv=cosx
v=cosx=sinx
xcosx dx=xsinx-sinx1=xsinx-sinxdx
Respuesta
xsinx--cosx-C
xsinx+cosx+C
2.-do
lnxx2
u=lnx
du=1x
dv=x-2
v=x-2=x-1-1=-x-1
lnx(-x-1)-x-11x=-x-1x1= -1xlnx 1 dx
Resultado
-1xlnx+x+C
3.-ro
exsinx dx
u=sinx
du=cosx
dv=ex
v=ex=ex
sinx ex-cosx exexsinx
Resultado
sinxex-cosx ex-cosx ex dx
sinxex-2cosx ex-ex+C
exsin-cos-1-cosx+C

4.-to
x2ex2dx
u=x2
du=2x
dv=ex2
v=ex2=ex2

x2 ex2-ex2 2x = x2ex2-2ex2∙xResultado
x2ex2-2ex2 x22dx=x2ex2-2ex2-2x22dx
ex2-2ex+C
5.-to
x5ex2dx
u=x5
du=5x4
dv=ex2
v=ex2=ex2
x5ex2-ex25x4
u=x2
du=2x
dx=du
x5e5-eu 5x4dx=du2x
x5ex5-2x eu 5x4du=x5 ex5-2xeu 5x4= x5ex5-2x5x4eudu
Resultado
x5ex5-2x5x4eu+C=x5 ex5-2x5x4ex5+C

6.-to
x2sin3x dx
u=x2
du=2x
dv=sin3x
v=sin3x=cos3x
x2∙cos3x-cos3x 2xdx
Resultado
x2∙cos3x--sin3x 2x22dx= x2∙cos3x+sin3x dx...